Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Р
е ш
е н и е. Пусть трубка заполнена газом, который совер-
шает малые колебания около своего положения равновесия. Тогда этот
процесс будет характеризовать скорость движения газа
~
V (x, t) в точке
x = (x
1
, x
2
, x
3
) в момент t. Пусть U(x, t) - потенциал скоростей газа, то
есть
~
V = −gradU, тогда, как известно, функция U(x, t) удовлетворяет
волновому уравнению
U
tt
= a
2
(U
x
1
x
1
+ U
x
2
x
2
+ U
x
3
x
3
). (14
0
)
Рассмотрим так называемые радиальные колебания газа, которые об-
разуются в том случае, когда начальные условия выражаются равен-
ствами
U(r, 0) = ϕ(r), U
t
(r, 0) = ψ(r), (15)
где r - расстояние от колеблющейся частицы газа до оси цилиндра 0x
3
.
Так как рассматриваем радиальные колебания, то потенциал ско-
ростей зависит только от r и t, поэтому, если ввести цилиндрические
координаты r, ϕ, z(x
1
= r cos ϕ, x
2
= r sin ϕ, x
3
= z), причем ось z на-
править по оси трубки, то уравнение (14
0
) примет вид:
U
tt
= a
2
(U
rr
+
1
r
U
r
). (16
0
)
Цилиндрическ
ая повер
хность представляет собой твердую, неподвиж-
ную поверхность, поэтому нормальная составляющая скоростей равна
нулю, что приводит к граничному условию
U
r
|
r=r
0
= 0. (17
0
)
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (16
0
) при на-
чальных условиях (15) и граничном условии (17
0
). Кроме того, так как
по самому смыслу задачи искомое решение должно оставаться огра-
ниченным во всех точках цилиндра, в том числе и на оси его, то есть
при r = 0, то должно выполняться условие:
U(0, t) = O(1). (18)
Согласно методу Фурье, частные решения уравнения (16
0
) ищем
в виде:
U(r, t) = R(r)T (t), (19)
и, следовательно,
T
00
+ a
2
λT = 0, (20)
R
00
+
1
r
R
0
+ λR =
0. (21)
126
       Р е ш е н и е. Пусть трубка заполнена газом, который совер-
шает малые колебания около своего положения равновесия. Тогда этот
процесс будет характеризовать скорость движения газа V (x,      ~ t) в точке
x = (x1 , x2 , x3 ) в момент t. Пусть U (x, t) - потенциал скоростей газа, то
есть V~ = −gradU, тогда, как известно, функция U (x, t) удовлетворяет
волновому уравнению
                     Utt = a2 (Ux1 x1 + Ux2 x2 + Ux3 x3 ).             (140 )
Рассмотрим так называемые радиальные колебания газа, которые об-
разуются в том случае, когда начальные условия выражаются равен-
ствами
                  U (r, 0) = ϕ(r), Ut (r, 0) = ψ(r),        (15)
где r - расстояние от колеблющейся частицы газа до оси цилиндра 0x3 .
      Так как рассматриваем радиальные колебания, то потенциал ско-
ростей зависит только от r и t, поэтому, если ввести цилиндрические
координаты r, ϕ, z(x1 = r cos ϕ, x2 = r sin ϕ, x3 = z), причем ось z на-
править по оси трубки, то уравнение (140 ) примет вид:
                                          1
                           Utt = a2 (Urr + Ur ).                       (160 )
                                          r
Цилиндрическая поверхность представляет собой твердую, неподвиж-
ную поверхность, поэтому нормальная составляющая скоростей равна
нулю, что приводит к граничному условию

                                Ur |r=r0 = 0.                          (170 )
Таким образом, задача сводится к решению уравнения (160 ) при на-
чальных условиях (15) и граничном условии (170 ). Кроме того, так как
по самому смыслу задачи искомое решение должно оставаться огра-
ниченным во всех точках цилиндра, в том числе и на оси его, то есть
при r = 0, то должно выполняться условие:

                              U (0, t) = O(1).                          (18)
     Согласно методу Фурье, частные решения уравнения (160 ) ищем
в виде:

                            U (r, t) = R(r)T (t),                       (19)
и, следовательно,

                              T 00 + a2 λT = 0,                         (20)

                                1
                           R00 + R0 + λR = 0.                           (21)
                                r


                                     126

Страницы