Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
k
=
2A
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
r
0
Z
0
r(1 −
r
2
r
2
0
)J
0
(
µ
k
r
0
r)dr =
=
2A
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
[
r
0
Z
0
r
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr − (1/r
2
0
)
r
0
Z
0
r
3
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr]
=
=
2A
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
{
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
µ
k
+
r
2
0
µ
4
k
[(µ
3
k
− 4µ
k
)J
1
(µ
k
)]} =
8A
J
1
(µ
k
)µ
3
k
,
b
k
=
0,
при
этом мы воспользовались решениями задач 18.14 и 18.15.
19.2. Найти поперечные колебания однородной круглой мем-
браны радиуса r
0
с закрепленным краем, вызванные радиально-
симметричным распределением отклонения и скоростей, причем окру-
жающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости,
то есть решить задачу:
U
tt
=a
2
(U
r
r
+
(1/r)U
r
)−2ν
U
t
,
0 <
r <
r
0
,
t >0,
U(r,0) =ϕ(r), U
t
(r
,0) =ψ(r),
U(
r
0
, t) = 0, U(0, t) = O(1).
Предположить, что коэффициент трения настолько мал, что
ν <
aµ
k
r
0
, г
де µ
k
- к
орень уравнения (11).
У к а з а н и е. См. занятие 12.
О т в е т:
a
k
=
2
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
r
0
Z
0
r
ϕ(r)
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
,
b
k
=
1
ω
k
[ν
a
k
+
2
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
]
r
0
Z
0
r
ψ(r)
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
,
U(r
, t) =
∞
X
k=1
e
−νt
(a
k
cos ω
k
t + b
k
sin ω
k
t)J
0
(
µ
k
r
0
r),
г
де ω
k
=
q
(
aµ
k
r
0
)
2
− ν
2
.
19.3. Дана
неподвижная
цилиндрическая трубка радиуса r
0
на-
столько длинная, что ее можно считать простирающейся в обе сторо-
ны до бесконечности. Исследовать малые радиальные колебания газа,
заключенного в трубке.
125
                                            Zr0
                            2A                             r2         µk
                    ak = 2 2                      r(1 −        )J 0 (    r)dr =
                        r0 J1 (µk )                        r02        r0
                                            0
                           Zr0                                     Zr0
                 2A                     µk                                         µk
         =                 [       rJ0 ( r)dr − (1/r02 )                 r3 J0 (      r)dr] =
             r02 J12 (µk )              r0                                         r0
                               0                                   0

           2A        r02 J12 (µk ) r02 3                           8A
      = 2 2        {              + 4 [(µk − 4µk )J1 (µk )]} =             ,
       r0 J1 (µk )        µk       µk                          J1 (µk )µ3k
                                                bk = 0,
при этом мы воспользовались решениями задач 18.14 и 18.15.
      19.2. Найти поперечные колебания однородной круглой мем-
браны радиуса r0 с закрепленным краем, вызванные радиально-
симметричным распределением отклонения и скоростей, причем окру-
жающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости,
то есть решить задачу:
   Utt = a2(Urr + (1/r)Ur) −2νUt,           0 < r < r0 , t >0, U(r,0) =ϕ(r), Ut(r,0) =ψ(r),


    U (r0 , t) = 0, U (0, t) = O(1).
    Предположить, что коэффициент трения настолько мал, что
    aµk
ν < r0 , где µk - корень уравнения (11).
    У к а з а н и е. См. занятие 12.
    О т в е т:

                                                  Zr0
                                 2                                  µk
                        ak = 2 2                        rϕ(r)J0 (      r)dr,
                            r0 J1 (µk )                             r0
                                                  0
                                                          Zr0
                        1             2                                      µk
                bk =       [νak + 2 2        ]                  rψ(r)J0 (       r)dr,
                        ωk       r0 J1 (µk )                                 r0
                                                          0
                           ∞
                           X                                                         µk
             U (r, t) =              e−νt (ak cos ωk t + bk sin ωk t)J0 (               r),
                                                                                     r0
                               k=1
        q
где ωk = ( aµ k 2   2
            r0 ) − ν .

     19.3. Дана неподвижная цилиндрическая трубка радиуса r0 на-
столько длинная, что ее можно считать простирающейся в обе сторо-
ны до бесконечности. Исследовать малые радиальные колебания газа,
заключенного в трубке.


                                                  125

Страницы