Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

на
чальным у
словиям
U|
t=0
= ϕ(r), U
t
|
t=0
= ψ(r) (3)
и граничному условию
U|
r=r
0
= 0. (4
0
)
Как обычно в методе Фурье (см. занятие 11) строим частные решения
уравнения (2
0
), имеющие вид:
U(r, t) = R(r)T (t) (5)
и удовлетворяющие (4
0
). Подставляя (5) в (2
0
) и разделяя переменные,
получим
T
00
(t) + a
2
λT (t) = 0, (6)
R
00
(r) +
1
r
R
0
(r)
+ λR(r)
= 0. (7)
Подставляя (5) в граничное условие (4
0
) и учитывая, что T (t) 6≡ 0,
будем иметь
R(r
0
) = 0. (8)
Таким образом, для определения R(r) пришли к задаче на собственные
значения (7), (8). Для решения уравнения (7) сделаем замену незави-
симой переменной p =
√
λr
. Тог
да (7) перейдет в уравнение Бесселя
нулевого порядка (ν = 0) относительно функции R(ρ)
ρR
00
(ρ) + R
0
(ρ) + ρR(ρ) = 0. (9)
На основании вышеизложенного (см. занятие 18) общее решение урав-
нения (9) запишется в виде:
R(ρ) = c
1
J
0
(ρ) + c
2
Y
0
(ρ),
а значит, общее решение уравнения (7) в виде:
R(r) = C
1
J
0
(
√
λr)
+ C
2
Y
0
(
√
λr),
г
де J
0
(
√
λr)-
функция Бесселя
первого рода, а Y
0
(
√
λr)-
функция вто-
рого
рода. Из определения функции Бесселя второго рода следует, что
Y
0
(
√
λr) →
∞ при r → 0. В
то же время ясно, что отклонение мем-
браны есть величина конечная, то есть в постановке задачи следует
отметить, что U(0, t) = O(1), а значит, из (5) следует, чтоR(0) = O(1),
поэтому положим C
2
= 0. Таким образом, R(r) =
c
1
J
0
(
√
λr). Из
гра-
ничного у
словия (8) имеем
R(r
0
) = C
1
J
0
(
√
λr
0
)
= 0
.
123
начальным условиям
                      U |t=0 = ϕ(r), Ut |t=0 = ψ(r)                  (3)
и граничному условию

                               U |r=r0 = 0.                         (40 )
Как обычно в методе Фурье (см. занятие 11) строим частные решения
уравнения (20 ), имеющие вид:

                          U (r, t) = R(r)T (t)                       (5)
и удовлетворяющие (40 ). Подставляя (5) в (20 ) и разделяя переменные,
получим

                        T 00 (t) + a2 λT (t) = 0,                (6)
                               1
                   R00 (r) + R0 (r) + λR(r) = 0.                 (7)
                               r
Подставляя (5) в граничное условие (40 ) и учитывая, что T (t) ≡
                                                               6 0,
будем иметь
                                R(r0 ) = 0.                      (8)
Таким образом, для определения R(r) пришли к задаче на собственные
значения (7), (8). Для решения
                        √      уравнения (7) сделаем замену незави-
симой переменной p = λr. Тогда (7) перейдет в уравнение Бесселя
нулевого порядка (ν = 0) относительно функции R(ρ)
                     ρR00 (ρ) + R0 (ρ) + ρR(ρ) = 0.                  (9)
На основании вышеизложенного (см. занятие 18) общее решение урав-
нения (9) запишется в виде:
                       R(ρ) = c1 J0 (ρ) + c2 Y0 (ρ),
а значит, общее решение уравнения (7) в виде:
                                  √              √
                    R(r) = C1 J0 ( λr) + C2 Y0 ( λr),
        √                                           √
где J0 ( λr)- функция Бесселя первого рода, а Y0 ( λr)- функция вто-
рого√рода. Из определения функции Бесселя второго рода следует, что
Y0 ( λr) → ∞ при r → 0. В то же время ясно, что отклонение мем-
браны есть величина конечная, то есть в постановке задачи следует
отметить, что U (0, t) = O(1), а значит, из (5) следует, чтоR(0)
                                                           √     = O(1),
                                                       c
поэтому положим C2 = 0. Таким образом, R(r) = 1J0 ( λr). Из гра-
ничного условия (8) имеем
                                        √
                        R(r0 ) = C1 J0 ( λr0 ) = 0.

                                   123

Страницы