Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Выво
д уравнения
дается на лекции и проводится аналогично выводу
уравнения поперечных колебаний струны. Уравнение имеет вид:
U
tt
= a
2
(U
x
1
x
1
+ U
x
2
x
2
), a
2
=
T
0
ρ
(1
0
),
г
де T
0
– сила
натяжения, ρ - поверхностная плотность мембраны. Ес-
ли в состоянии покоя мембрана занимает в плоскости (x
1
, x
2
) круг
¯
Ω = {|x| ≤ r
0
}, ограниченный окружностью ∂Ω = |x| = r
0
, то, что-
бы мембрана начала колебаться, нужно ее точкам придать либо на-
чальные отклонения, либо начальные скорости, либо то и другое. Это
значит, что заданы функции
U|
t=0
= ϕ(x), U
t
|
t=0
= ψ(x), x ∈
¯
Ω.
Так как край мембраны закреплен, то U|
∂Ω
= 0. Трудность ре-
шения двумерного уравнения (1
0
) существенно зависит от геометри-
ческой формы мембраны. В нашем случае мембрана в состоянии по-
коя занимает круг, поэтому введем полярные координаты ϕ, r : x
1
=
r cos ϕ, x
2
= r sin ϕ. Искомая функция перейдет в функцию U(r, ϕ, t)
(для удобства не меняем обозначения функции). На основании задачи
11.8 следует, что оператор Лапласа ∆U в полярных координатах будет
иметь вид:
∆U ≡ U
rr
+
1
r
U
r
+
1
r
2
U
ϕϕ
,
а
значит
уравнение (1
0
) примет вид:
U
tt
= a
2
(U
rr
+
1
r
U
r
+
1
r
2
)U
ϕϕ
.
На
чальные у
словия и граничное условие соответственно запи-
шутся в виде:
U|
t=0
= ϕ(r, ϕ), U
t
|
t=0
= ψ(r, ϕ), U|
r=r
0
= 0.
Так как в нашем случае колебания мембраны вызваны
радиально-симметричным распределением отклонения и скоростей, то
величины начальных отклонений и скоростей зависят только от рас-
стояния точки мембраны от ее центра. Иначе говоря, все точки окруж-
ности, концентрической с границей круга, в начальный момент вре-
мени имеют одни и те же скорости и отклонения. Тогда ясно, что в
любой момент времени величина отклонения не будет зависеть от по-
лярного угла ϕ и будет являться функцией U(r, t). Это значит, что
при любом фиксированном ϕ форма мембраны будет поверхностью
вращения. При этом предположении колебание мембраны сводится к
уравнению:
U
tt
= a
2
(U
rr
+
1
r
U
r
), 0 <
r <
r
0
, t > 0, (2
0
)
122
,
Вывод уравнения дается на лекции и проводится аналогично выводу
уравнения поперечных колебаний струны. Уравнение имеет вид:
                                                T0
                 Utt = a2 (Ux1 x1 + Ux2 x2 ),   a2 =
                                                   ,           (10 ),
                                                ρ
где T0 – сила натяжения, ρ - поверхностная плотность мембраны. Ес-
ли в состоянии покоя мембрана занимает в плоскости (x1 , x2 ) круг
Ω̄ = {|x| ≤ r0 }, ограниченный окружностью ∂Ω = |x| = r0 , то, что-
бы мембрана начала колебаться, нужно ее точкам придать либо на-
чальные отклонения, либо начальные скорости, либо то и другое. Это
значит, что заданы функции
                 U |t=0 = ϕ(x), Ut |t=0 = ψ(x), x ∈ Ω̄.
       Так как край мембраны закреплен, то U |∂Ω = 0. Трудность ре-
шения двумерного уравнения (10 ) существенно зависит от геометри-
ческой формы мембраны. В нашем случае мембрана в состоянии по-
коя занимает круг, поэтому введем полярные координаты ϕ, r : x1 =
r cos ϕ, x2 = r sin ϕ. Искомая функция перейдет в функцию U (r, ϕ, t)
(для удобства не меняем обозначения функции). На основании задачи
11.8 следует, что оператор Лапласа ∆U в полярных координатах будет
иметь вид:
                                   1     1
                        ∆U ≡ Urr + Ur + 2 Uϕϕ ,
                                   r     r
а значит уравнение (10 ) примет вид:
                                   1     1
                    Utt = a2 (Urr + Ur + 2 )Uϕϕ .
                                   r    r
     Начальные условия и граничное условие соответственно запи-
шутся в виде:
             U |t=0 = ϕ(r, ϕ), Ut |t=0 = ψ(r, ϕ), U |r=r0 = 0.
     Так как в нашем случае колебания мембраны вызваны
радиально-симметричным распределением отклонения и скоростей, то
величины начальных отклонений и скоростей зависят только от рас-
стояния точки мембраны от ее центра. Иначе говоря, все точки окруж-
ности, концентрической с границей круга, в начальный момент вре-
мени имеют одни и те же скорости и отклонения. Тогда ясно, что в
любой момент времени величина отклонения не будет зависеть от по-
лярного угла ϕ и будет являться функцией U (r, t). Это значит, что
при любом фиксированном ϕ форма мембраны будет поверхностью
вращения. При этом предположении колебание мембраны сводится к
уравнению:
                              1
               Utt = a2 (Urr + Ur ), 0 < r < r0 , t > 0,        (20 )
                              r

                                    122

Страницы