Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 124 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т
огда,
учитывая, что C
1
6= 0, получим уравнение, определяющее соб-
ственные значения задачи (7), (8):
J
0
(
√
λr
0
)
= 0
. (10)
Делая в (10) замену
√
λr
0
= µ,
получим уравнение
J
0
(
µ) = 0. (11)
Таким образом, собственными значениями задачи (7), (8) являются
числа λ
k
= (
µ
k
r
0
)
2
,
k = 1
, 2, ..., где µ
k
- корни уравнения (11), то есть
корни функции Бесселя. Следовательно, функции R
k
(r) = J
0
(
µ
k
r
0
r) об-
разуют
систему собственных
функций задачи (7), (8). При λ = λ
k
найдем решение уравнения (6), то есть уравнения
T
00
k
(t) + (
aµ
k
r
0
)
2
T
k
(t)
= 0
. (6
k
)
Общее решение уравнения (6
k
) имеет вид:
T
k
(t) = a
k
cos
aµ
k
r
0
t + b
k
sin
aµ
k
r
0
t,
г
де a
k
, b
k
-
произвольные постоянные. Составим теперь ряд
U(r, t) =
∞
X
k=1
U
k
(r, t) (12)
и подберем коэффициенты a
k
и b
k
так, чтобы выполнялись начальные
условия (3):
U(r, 0) =
∞
X
k=1
a
k
J
0
(
µ
k
r
0
r)
= ϕ(r)
,
U
t
(r, 0) =
∞
X
k=1
aµ
k
r
0
b
k
J
0
(
µ
k
r
0
r)
= ψ(r)
.
Таким образом, мы пришли к задаче разложения функций ϕ(r) и ψ(r)
в ряд Фурье-Бесселя по функциям J
0
(
µ
k
r
0
r), поэтому
на основании
фор-
мулы (31) занятия 18 получим
a
k
=
2
r
2
0
J
2
1
(µ
k
)
Z
r
0
0
r
ϕ(r)
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
,
b
k
=
2
ar
0
µ
k
J
2
1
(µ
k
)
Z
r
0
0
r
ψ(r)
J
0
(
µ
k
r
0
r)dr
. (13)
Подст
авляя коэффициенты a
k
и b
k
в ряд (12), получим решение за-
дачи. Рассмотрим частный случай, когда ϕ(r) = A(1 −
r
2
r
2
0
),
ψ(r) ≡ 0
.
Подставляя эти функции в формулу (13), получим
124
Тогда, учитывая, что C1 6= 0, получим уравнение, определяющее соб-
ственные значения задачи (7), (8):
                               √
                           J0 ( λr0 ) = 0.                    (10)
                   √
Делая в (10) замену λr0 = µ, получим уравнение
                                   J0 (µ) = 0.                          (11)
Таким образом, собственными значениями задачи (7), (8) являются
числа λk = ( µr0k )2 , k = 1, 2, ..., где µk - корни уравнения (11), то есть
корни функции Бесселя. Следовательно, функции Rk (r) = J0 ( µr0k r) об-
разуют систему собственных функций задачи (7), (8). При λ = λk
найдем решение уравнения (6), то есть уравнения
                                        aµk 2
                           Tk00 (t) + (     ) Tk (t) = 0.               (6k )
                                         r0
Общее решение уравнения (6k ) имеет вид:
                                aµk            aµk
                Tk (t) = ak cos     t + bk sin     t,
                                 r0             r0
где ak , bk - произвольные постоянные. Составим теперь ряд
                                          ∞
                                          X
                           U (r, t) =           Uk (r, t)               (12)
                                          k=1

и подберем коэффициенты ak и bk так, чтобы выполнялись начальные
условия (3):
                            ∞
                            X        µk
                 U (r, 0) =   ak J0 ( r) = ϕ(r),
                                     r0
                                  k=1
                                 ∞
                                 X     aµk        µk
                   Ut (r, 0) =             bk J0 ( r) = ψ(r).
                                        r0        r0
                                 k=1
Таким образом, мы пришли к задаче разложения функций ϕ(r) и ψ(r)
в ряд Фурье-Бесселя по функциям J0 ( µr0k r), поэтому на основании фор-
мулы (31) занятия 18 получим
                                 Z r0
                           2                    µk
                 ak = 2 2             rϕ(r)J0 ( r)dr,
                      r0 J1 (µk ) 0             r0
                                   Z r0
                           2                      µk
               bk =          2          rψ(r)J0 ( r)dr.            (13)
                    ar0 µk J1 (µk ) 0             r0
Подставляя коэффициенты ak и bk в ряд (12), получим решение за-
                                                            2
дачи. Рассмотрим частный случай, когда ϕ(r) = A(1 − rr2 ), ψ(r) ≡ 0.
                                                            0
Подставляя эти функции в формулу (13), получим

                                         124

Страницы