Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

18.14. Док
азать то
ждество
Z
x
0
ξ
3
J
0
(ξ)dξ = 2x
2
J
0
(x) + (x
3
− 4x)J
1
(x) (56)
У к а з а н и е. Для доказательства воспользоваться фор-
мулами (46)-(48) и проинтегрировать дважды по частям.
18.15. Разложить функцию f(x) = x
ν
, ν > −1 в ряд по функци-
ям J
ν
(µ
i
x), i = 1, 2, ... на промежутке [0, 1], где µ
i
- корни уравнения
(25).
У к а з а н и е. При вычислении коэффициентов a
i
разложения
использовать формулу (31) и формулу (49).
О т в е т:
a
i
=
2
µ
i
J
ν+1
(µ − i)
.
З
А Н
Я Т И Е 19
Тема. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
19.1. Найти поперечные колебания однородной круглой мем-
браны радиуса r
0
с закрепленным краем, вызванные радиально-
симметричным распределением отклонения и скоростей. Рассмотреть
частный случай, когда колебания вызваны начальным отклонением
ϕ(r) = A(1 −
r
2
r
2
0
),
A − const,
а на
чальные скорости отсутствуют.
Р е ш е н и е. Мембрана - упругая, свободно изгибаю-
щаяся натянутая пленка. В состоянии покоя мембрана занимает круг
радиуса r
0
на плоскости (x
1
, x
2
), а затем, будучи выведена из этого со-
стояния, начинает колебаться. Будем считать, что все точки мембраны
движутся перпендикулярно плоскости (x
1
, x
2
). Тогда в качестве функ-
ции, характеризующей процесс, возьмем функцию U(x, t) переменных
x = (x
1
, x
2
) и t, которая определяет отклонение точки x = (x
1
, x
2
)
мембраны от положения равновесия в момент t. При фиксированном
x = x
0
функция U(x
0
, t) дает закон колебания точки x
0
= (x
0
1
, x
0
2
)
мембраны, при этом U
t
(x
0
, t), U
tt
(x
0
, t) определяют соответственно ско-
рость и ускорение движущейся точки. Если зафиксировать t = t
0
, то
поверхность U(x, t
0
) дает форму колеблющейся мембраны в момент t
0
.
121
.
     18.14. Доказать тождество
             Z x
                 ξ 3 J0 (ξ)dξ = 2x2 J0 (x) + (x3 − 4x)J1 (x) .        (56)
                0

      У к а з а н и е. Для доказательства воспользоваться фор-
мулами (46)-(48) и проинтегрировать дважды по частям.
      18.15. Разложить функцию f (x) = xν , ν > −1 в ряд по функци-
ям Jν (µi x), i = 1, 2, ... на промежутке [0, 1], где µi - корни уравнения
(25).
      У к а з а н и е. При вычислении коэффициентов ai разложения
использовать формулу (31) и формулу (49).
      О т в е т:
                                           2
                               ai =                 .
                                    µi Jν+1 (µ − i)




                            З А Н Я Т И Е 19

         Тема. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ
                    ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

     19.1. Найти поперечные колебания однородной круглой мем-
браны радиуса r0 с закрепленным краем, вызванные радиально-
симметричным распределением отклонения и скоростей. Рассмотреть
частный случай, когда колебания вызваны начальным отклонением
                                   r2
                    ϕ(r) = A(1 −       ),   A − const,
                                   r02
а начальные скорости отсутствуют.
      Р е ш е н и е. Мембрана - упругая, свободно изгибаю-
щаяся натянутая пленка. В состоянии покоя мембрана занимает круг
радиуса r0 на плоскости (x1 , x2 ), а затем, будучи выведена из этого со-
стояния, начинает колебаться. Будем считать, что все точки мембраны
движутся перпендикулярно плоскости (x1 , x2 ). Тогда в качестве функ-
ции, характеризующей процесс, возьмем функцию U (x, t) переменных
x = (x1 , x2 ) и t, которая определяет отклонение точки x = (x1 , x2 )
мембраны от положения равновесия в момент t. При фиксированном
x = x0 функция U (x0 , t) дает закон колебания точки x0 = (x01 , x02 )
мембраны, при этом Ut (x0 , t), Utt (x0 , t) определяют соответственно ско-
рость и ускорение движущейся точки. Если зафиксировать t = t0 , то
поверхность U (x, t0 ) дает форму колеблющейся мембраны в момент t0 .

                                    121

Страницы