Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

или,
положив k
0
= n + k
, получим
J
−n
(x) =
P
∞
k=0
(−1)
k+n
(
x
2
)
2k+n
(k+n)!Γ(k+1)
=
(−1)
n
P
∞
k=0
(
−1)
k
(
x
2
)
2k+n
k!Γ(k+n+1)
=
(−1)
n
J
n
(x).
18.10. Просуммировать
ряды
с функциями Бесселя:
a)f(x) = J
0
(x) + 2
∞
X
n=1
J
2n
(x),
b)f(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n
J
2n+1
(x), (51)
c)f(x) = J
0
(x) + 2
∞
X
n=0
(−1)
n
J
2n
(x), (52)
d)f(x) =
∞
X
n=1
(2n)
2
J
2n
(x). (53)
Р е ш е н и е. а) Запишем разложение (21) при z = 1
e
x
2
(1−1)
=
1 = J
0
(
x) +
∞
X
n=1
[(−1)
n
+ 1]J
n
(x). (54)
Из (54) следует, что коэффициент при J
n
(x)равен нулю, если n- нечет-
ное число, поэтому (54) можно переписать в виде:
1 = J
0
(x) + 2
∞
X
n=1
J
2n
(x),
откуда следует, что f(x) = 1.
d) Продифференцируем разложение (21) по z, а затем умножим
полученное равенство на z. Эту операцию проделаем дважды.
z[e
x
2
(z−1/z)
]
0
= z
e
x
2
(z−1/z)
(
x
2
+
x
2z
2
)
=
= e
x
2
(z−1/z)
(
z
x
2
+
x
2z
)
=
∞
X
n=1
nJ
n
(x)[z
n
− (−1)
n
z
−n
],
z{z[e
x
2
(z−1/z)
]
0
}
0
= z
e
x
2
(z−1/z)
[(
x
2
−
x
2z
2
)
+ (
x
2
+
x
2z
2
)
2
]
=
=
∞
X
n=1
n
2
J
n
(
x)[z
n
+ (−1)
n
z
−n
]. (55)
119
или, положив k 0 = n + k, получим
                  P∞ (−1)k+n ( x2 )2k+n        n
                                                 P∞ (−1)k ( x2 )2k+n
      J−n (x) =      k=0 (k+n)!Γ(k+1)   = (−1)    k=0 k!Γ(k+n+1)              =
    n
(−1) Jn (x).
      18.10. Просуммировать ряды с функциями Бесселя:
                                                       ∞
                                                       X
                         a)f (x) = J0 (x) + 2                J2n (x),
                                                       n=1
                                         ∞
                                         X
                             b)f (x) =         (−1)n J2n+1 (x),             (51)
                                         n=0
                                                   ∞
                                                   X
                      c)f (x) = J0 (x) + 2               (−1)n J2n (x),     (52)
                                                   n=0
                                           ∞
                                           X
                              d)f (x) =          (2n)2 J2n (x).             (53)
                                           n=1
     Р е ш е н и е. а) Запишем разложение (21) при z = 1
                                                 ∞
                                                 X
                   x
               e   2 (1−1)   = 1 = J0 (x) +            [(−1)n + 1]Jn (x).   (54)
                                                 n=1

Из (54) следует, что коэффициент при Jn (x) равен нулю, если n- нечет-
ное число, поэтому (54) можно переписать в виде:
                                                   ∞
                                                   X
                              1 = J0 (x) + 2             J2n (x),
                                                   n=1

откуда следует, что f (x) = 1.
     d) Продифференцируем разложение (21) по z, а затем умножим
полученное равенство на z. Эту операцию проделаем дважды.
                      x                 x          x    x
                  z[e 2 (z−1/z) ]0 = ze 2 (z−1/z) ( + 2 ) =
                                                   2 2z
                                       X ∞
             x
               (z−1/z) zx        x
          =e 2        ( + )=                 nJn (x)[z n − (−1)n z −n ],
                         2     2z       n=1

              x                    x           x  x      x  x
        z{z[e 2 (z−1/z) ]0 }0 = ze 2 (z−1/z) [( − 2 ) + ( + 2 )2 ] =
                                               2 2z      2 2z
                              ∞
                              X
                         =          n2 Jn (x)[z n + (−1)n z −n ].           (55)
                              n=1



                                             119

Страницы