Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

О
т в
е т: Γ(1/2) =
√
π.
18.3. Вывести рекуррентную формулу (18).
Р е ш е н и е.
d
dx
[x
ν
J
ν
(x)]
=
d
dx
∞
X
k=0
(−1)
k
x
2ν+2k
2
ν+2k
k!Γ(ν + k +
1)
=
∞
X
k=0
(−1)
k
2(ν + k)x
2ν+2k−1
2
ν+2k
k!Γ(ν + k +
1)
.
(41)
На основании (39), следует, что Γ(ν + k + 1) = (ν + k)Γ(ν + k), поэтому
из (41) получим
νx
ν−1
J
ν
(x) + x
ν
J
0
ν
(x) = x
ν
J
ν−1
(x). (42)
Сравнив правую часть (42) с разложением (13), будем иметь
νx
ν−1
J
ν
(x) + x
ν
J
0
ν
(x) = x
ν
J
ν−1
(x),
откуда получаем (18).
18.4. Вычислить Γ(n + 3/2), где n ∈ N.
Р е ш е н и е.
Γ(n + 3/2) = Γ(n + 1 +1/2) = (1/2 + 1)(1/2 + 2)...(1/2 + n)Γ(1/2 + 1) =
=
1
2
3
2
5
2
...
(2n +
1)
2
Γ(1/2)
=
1 · 3 · 5...
(2n + 1)
2
n+1
√
π
. (43)
18.5. Вычислить Γ(n +
1/2), n ∈ N.
У к а з а н и е. Можно использовать (43) или учесть, что
Γ(n + 1/2) = Γ(n + 1 −1/2) = (−1/2+1)(−1/2+2)...(−1/2 + n)Γ(1/2).
О т в е т:
Γ(n + 1/2) =
(2n)!
√
π
2
2n
n!
. (44)
18.6. Док
азать форму
лу
J
1/2
(x) =
r
2
π
x
sin x. (45)
Р е ш е н и е. Из (13) и (43)следует
J
1/2
(x) =
∞
X
k=0
(−1)
k
(
x
2
)
1/2+k
k!Γ(3/2
+ k)
=
∞
X
k=0
(−
1)
k
(
x
2
)
2k+1
(
x
2
)
−1/2
2
k+1
1 · 3 · 5...(2k +
1)
√
π
=
=
∞
X
k=0
(−1)
k
x
2k+1
2
1/2
√
x
√
π(2k +
1)!
=
∞
X
k=0
(−
1)
k
x
2k+1
(2k +
1)!
=
r
2
π
x
sin x,
так
как последняя сумма представляет собой разложение sin x в сте-
пенной ряд.
117
r
2
π
x
                        √
     О т в е т: Γ(1/2) = π.
     18.3. Вывести рекуррентную формулу (18).
     Р е ш е н и е.
                        ∞                           ∞
                                              X (−1)k 2(ν + k)x2ν+2k−1
 d ν             d X       (−1)k x2ν+2k
   [x Jν (x)] =                             =                           .
dx              dx     2ν+2k k!Γ(ν + k + 1)       2ν+2k k!Γ(ν + k + 1)
                   k=0                        k=0
                                                                    (41)
На основании (39), следует, что Γ(ν + k + 1) = (ν + k)Γ(ν + k), поэтому
из (41) получим
                     νxν−1 Jν (x) + xν Jν0 (x) = xν Jν−1 (x).                 (42)
Сравнив правую часть (42) с разложением (13), будем иметь
                     νxν−1 Jν (x) + xν Jν0 (x) = xν Jν−1 (x),
откуда получаем (18).
     18.4. Вычислить Γ(n + 3/2), где n ∈ N.
     Р е ш е н и е.
Γ(n + 3/2) = Γ(n + 1 + 1/2) = (1/2 + 1)(1/2 + 2)...(1/2 + n)Γ(1/2 + 1) =
            1 3 5 (2n + 1)          1 · 3 · 5...(2n + 1) √
           =     ...       Γ(1/2) =                        π. (43)
            222      2                       2n+1
     18.5. Вычислить Γ(n + 1/2), n ∈ N.
     У к а з а н и е. Можно использовать (43) или учесть, что
Γ(n + 1/2) = Γ(n + 1 − 1/2) = (−1/2 + 1)(−1/2 + 2)...(−1/2 + n)Γ(1/2).
     О т в е т:                           √
                                   (2n)! π
                     Γ(n + 1/2) =             .                               (44)
                                      22n n!
     18.6. Доказать формулу
                                 r
                                    2
                      J1/2 (x) =       sin x.                                 (45)
                                   πx
     Р е ш е н и е. Из (13) и (43)следует

                  ∞
                  X                    ∞
                                       X
                    (−1)k ( x )1/2+k
                              2          (−1)k ( x2 )2k+1 ( x2 )−1/2 2k+1
     J1/2 (x) =                      =                             √      =
                        k!Γ(3/2 + k)      1 · 3 · 5...(2k + 1) π
                  k=0                     k=0
           ∞                    r X  ∞                r
          X   (−1)k x2k+1 21/2          (−1) k 2k+1
                                              x          2
        =     √ √              = 2                  =      sin x,
               x π(2k + 1)!      πx k=0  (2k +  1)!     πx
          k=0
так как последняя сумма представляет собой разложение sin x в сте-
пенной ряд.

                                        117

Страницы