Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т
ак к
ак имеет место формула (см. ниже формулу (49))
x
ν+1
J
ν
(x) =
d
dx
[x
ν+1
J
ν+1
(x)],
то
из нее
имеем
x
ν+1
J
ν
(xt) =
1
t
d
dx
[x
ν+1
J
ν+1
(xt)].
Интегриру
я последнее
тождество, получим
Z
l
0
x
ν+1
J
ν
(xt)dx =
l
ν+1
t
J
ν+1
(tl).
Полаг
ая здесь t =
µ
i
l
,
где µ
i
-
корень уравнения (35), будем иметь
Z
l
0
x
ν+1
J
ν
(µ
i
x
l
)dx =
0; (37)
тогда
из (36), в силу (37), вытекает,что
b
0
=
2(ν + 1)
l
2(ν+1)
Z
l
0
x
ν+1
F (x)dx. (38)
Коэффициенты b
i
(i =
1, 2
...) определяются по прежним формулам
(33), что непосредственно следует из равенства (37).
В заключение отметим, что функции Бесселя J
n+1/2
при целом
n выражаются через элементарные функции.
З а д а ч и
18.1. Используя интегральное представление (10) для гамма-
функции, доказать для нее рекуррентное соотношение
Γ(µ + 1) = µΓ(µ). (39)
С помощью (39) доказать, что
Γ(n + 1) = n!, n ∈ N. (40)
У к а з а н и е. Для доказательства (39) применить к (10)
интегрирование по частям. При получении (40) учесть, что Γ(1) = 1.
18.2. Зная, что Γ(µ) определяется формулой (10), доказать тож-
дество
Γ(µ) = 2
Z
∞
0
e
−u
2
u
2µ−1
du
и использовать его для вычисления Γ(1/2).
У к а з а н и е. В интеграле (10) сделать замену x = U
2
.
Для вычисления Γ(1/2) учесть, что
R
∞
0
e
−x
2
dx =
√
π
2
.
116
Так как имеет место формула (см. ниже формулу (49))
                                      d ν+1
                     xν+1 Jν (x) =      [x Jν+1 (x)],
                                     dx
то из нее имеем
                                     1 d ν+1
                   xν+1 Jν (xt) =         [x Jν+1 (xt)].
                                     t dx
Интегрируя последнее тождество, получим
                 Z l
                      ν+1          lν+1
                     x Jν (xt)dx =      Jν+1 (tl).
                  0                  t
Полагая здесь t = µli , где µi - корень уравнения (35), будем иметь
                          Z l
                                           x
                               xν+1 Jν (µi )dx = 0;                 (37)
                           0               l
тогда из (36), в силу (37), вытекает,что
                                        Z
                            2(ν + 1) l ν+1
                      b0 = 2(ν+1)           x F (x)dx.              (38)
                              l          0
Коэффициенты bi (i = 1, 2...) определяются по прежним формулам
(33), что непосредственно следует из равенства (37).
      В заключение отметим, что функции Бесселя Jn+1/2 при целом
n выражаются через элементарные функции.

                            З а д а ч и

    18.1. Используя интегральное представление (10) для гамма-
функции, доказать для нее рекуррентное соотношение
                          Γ(µ + 1) = µΓ(µ).                        (39)
С помощью (39) доказать, что
                         Γ(n + 1) = n!, n ∈ N.                     (40)
     У к а з а н и е. Для доказательства (39) применить к (10)
интегрирование по частям. При получении (40) учесть, что Γ(1) = 1.
     18.2. Зная, что Γ(µ) определяется формулой (10), доказать тож-
дество                         Z ∞
                                      2
                      Γ(µ) = 2     e−u u2µ−1 du
                                     0
и использовать его для вычисления Γ(1/2).
     У к а з а н и е. В интеграле (10) сделать  замену x = U 2 .
                                  R ∞ −x2  √
Для вычисления Γ(1/2) учесть, что 0 e dx = 2π .

                                      116

Страницы