Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α
J
ν
+ βk
1
l
J
0
ν
(k
1
l) = 0,
αJ
ν
+ βk
2
lJ
0
ν
(k
2
l) = 0.
Отсюда непосредственно имеем
k
1
J
0
ν
(k
1
l)J
ν
(k
2
l) − k
2
J
0
ν
(k
2
l)J
ν
(k
1
l) = 0.
Следовательно, и в этом случае первая часть формулы (24) также
равна нулю и мы имеем по-прежнему условие ортогональности (26).
Можно показать, что если ν > −1 и
α
β
+ ν ≥ 0, то
все к
орни
уравнения (28) вещественны.
Пусть k =
µ
l
, г
деµ -
положительный корень уравнения (28). Возь-
мем формулу (24), в которой положим k
1
= k и k
2
будем считать пе-
ременным и стремящимся к k, тогда получим
Z
l
0
xJ
ν
(kx)J
ν
(k
2
x)dx =
l[kJ
0
ν
(µ)J
ν
(k
2
l) − k
2
J
0
ν
(k
2
l)J
ν
(µ)]
k
2
2
− k
2
.
При k
2
= k правая
часть этого
равенства становится неопределенной.
Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим
Z
l
0
xJ
2
ν
(kx)dx =
l[µJ
0
2
ν
(µ) − J
0
ν
(µ)J
ν
(µ) − µJ
00
ν
(µ)J
ν
(µ)]
2k
или,
в силу
уравнения
J
00
ν
(µ) +
1
µ
J
0
ν
(µ)
+ (1 −
ν
2
µ
2
)J
ν
(µ)
= 0
придем
после простых преобразований к формуле
Z
l
0
xJ
2
ν
(µ
x
l
)dx =
l
2
2
[J
0
2
ν
(µ)
+ (1 −
ν
2
µ
2
)J
2
ν
(µ)],
и,
наконец,
приняв во внимание, что
J
0
ν
(µ) = −
α
β
µ
J
ν
(µ
),
окончательно получим
Z
l
0
xJ
2
ν
(µ
x
l
)dx =
l
2
2
(1
+
α
2
− β
2
ν
2
β
2
µ
2
)J
2
ν
(µ)(29),
г
де µ - положительный
корень уравнения (28).
Пусть произвольная функция F (x) представима в виде ряда
F (x) =
∞
X
i=1
a
i
J
ν
(µ
i
x
l
)(ν
> −1)
, (30)
114
(k
1
l)
(k
2
l)
                                  αJν (k1 l)+ βk1 lJ 0 ν (k1 l) = 0,
                   αJν (k2 l) + βk2 lJν0 (k2 l) = 0.
Отсюда непосредственно имеем
                          k1 Jν0 (k1 l)Jν (k2 l) − k2 Jν0 (k2 l)Jν (k1 l) = 0.
Следовательно, и в этом случае первая часть формулы (24) также
равна нулю и мы имеем по-прежнему условие ортогональности (26).
     Можно показать, что если ν > −1 и αβ + ν ≥ 0, то все корни
уравнения (28) вещественны.
     Пусть k = µl , гдеµ - положительный корень уравнения (28). Возь-
мем формулу (24), в которой положим k1 = k и k2 будем считать пе-
ременным и стремящимся к k, тогда получим

      Z       l
                                        l[kJ 0 ν (µ)Jν (k2 l) − k2 J 0 ν (k2 l)Jν (µ)]
                  xJν (kx)Jν (k2 x)dx =                                                .
          0                                              k22 − k 2
При k2 = k правая часть этого равенства становится неопределенной.
Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя, получим
       Z l
             2          l[µJ 0 2ν (µ) − J 0 ν (µ)Jν (µ) − µJ 00 ν (µ)Jν (µ)]
           xJν (kx)dx =
        0                                         2k
или, в силу уравнения

                            00      1 0            ν2
                           J ν (µ) + J ν (µ) + (1 − 2 )Jν (µ) = 0
                                    µ              µ
придем после простых преобразований к формуле
             Z l
                     2  x         l2 0 2             ν2 2
                 xJν (µ )dx = [J ν (µ) + (1 − 2 )Jν (µ)],
               0         l        2                  µ
и, наконец, приняв во внимание, что
                                         α
                           Jν0 (µ) = − Jν (µ),
                                        βµ
окончательно получим
             Z l
                        x        l2      α2 − β 2 ν 2 2
                 xJν2 (µ )dx = (1 +                  )Jν (µ)(29),
              0         l        2         β 2 µ2
где µ - положительный корень уравнения (28).
     Пусть произвольная функция F (x) представима в виде ряда
                                           ∞
                                           X              x
                                 F (x) =         ai Jν (µi )(ν > −1),                      (30)
                                           i=1
                                                          l

                                                   114

Страницы