ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
р
яды, содержащие функции Бесселя. Если ν > −1, то функция J
ν
(x)
имеет бесчисленное множество корней, причем они вещественны. Из
разложения J
ν
(x) следует, что корни J
ν
(x)]будут попарно одинако-
выми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что всегда
достаточно рассматривать только положительные корни.
Рассмотрим уравнение
x
2
y
00
+ xy
0
+ (k
2
x
2
− ν
2
)y = 0, (22)
где k- некоторая постоянная, отличная от нуля. Введем вместо x новую
неизвестную переменную t = kx, тогда уравнение (22) преобразуется
в такое:
t
2
d
2
y
dt
2
+ t
dy
dt
+
(t
2
− ν
2
)
y = 0,
а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция y = J
ν
(kx)
будет решением уравнения
x
2
d
2
J
ν
(kx)
dx
2
+ x
dJ
ν
(k
x)
dx
+
(k
2
x
2
− ν
2
)
J
ν
(kx) = 0,
которое, разделив на x, можно написать в виде:
d
dx
[x
dJ
ν
(k
x)
dx
]
+ (
x
k
2
−
ν
2
x
)J
ν
(k
x) =
0.
Возьмем два различных значения k и напишем соответствующие диф-
ференциальные уравнения:
d
dx
[x
dJ
ν
(k
1
x)
dx
]
+ (
1
−
ν
2
x
)J
ν
(k
1
x)
= 0
,
d
dx
[x
dJ
ν
(k
2
x)
dx
]
+ ( −
ν
2
x
)J
ν
(k
2
x)
= 0
.
Умножая первое из этих равенств на J
ν
(k
2
x), а второе на J
ν
(k
1
x) и
вычитая одно из другого, получим
d
dx
[xJ
ν
(k
2
x)
dJ
ν
(k
1
x)
dx
− xJ
ν
(k
1
x)
J
ν
(k
2
x)
dx
]
= (
k
2
1
− k
2
2
)xJ
ν
(k
1
x)J
ν
(k
2
x).
(23)
Если теперь воспользоваться формулой (13), то можно убедиться, что
выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, может быть разло-
жено по степеням x, причем наинизшая степень x будет x
2(ν+1)
. Отсю-
да ясно, что это выражение будет обращаться в нуль при x = 0, если
ν > −1. Приняв это во внимание, проинтегрируем (23) от 0 до l. Тогда
получим
112
x
k
2
x
k
2
ряды, содержащие функции Бесселя. Если ν > −1, то функция Jν (x)
имеет бесчисленное множество корней, причем они вещественны. Из
разложения Jν (x) следует, что корни Jν (x)]будут попарно одинако-
выми по абсолютной величине и обратными по знаку, так что всегда
достаточно рассматривать только положительные корни.
Рассмотрим уравнение
x2 y 00 + xy 0 + (k 2 x2 − ν 2 )y = 0, (22)
где k- некоторая постоянная, отличная от нуля. Введем вместо x новую
неизвестную переменную t = kx, тогда уравнение (22) преобразуется
в такое:
d2 y dy
2
+ t t2+ (t2 − ν 2 )y = 0,
dt dt
а это есть уравнение Бесселя. Следовательно, функция y = Jν (kx)
будет решением уравнения
2
2d
Jν (kx) dJν (kx)
x 2
+ x + (k 2 x2 − ν 2 )Jν (kx) = 0,
dx dx
которое, разделив на x, можно написать в виде:
d dJν (kx) ν2
[x ] + (k x − )Jν (kx) = 0.
2
dx dx x
Возьмем два различных значения k и напишем соответствующие диф-
ференциальные уравнения:
d dJν (k1 x) ν2
[x ] + ( k12 x− )Jν (k1 x) = 0,
dx dx x
d dJν (k2 x) ν2
[x ] + (k 22 x − )Jν (k2 x) = 0.
dx dx x
Умножая первое из этих равенств на Jν (k2 x), а второе на Jν (k1 x) и
вычитая одно из другого, получим
d dJν (k1 x) Jν (k2 x)
[xJν (k2 x) − xJν (k1 x) ] = (k12 − k22 )xJν (k1 x)Jν (k2 x).
dx dx dx
(23)
Если теперь воспользоваться формулой (13), то можно убедиться, что
выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, может быть разло-
жено по степеням x, причем наинизшая степень x будет x2(ν+1) . Отсю-
да ясно, что это выражение будет обращаться в нуль при x = 0, если
ν > −1. Приняв это во внимание, проинтегрируем (23) от 0 до l. Тогда
получим
112
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
