Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если ν 6= n, то
частные решения J
ν
(
x) и J
−ν
(x) уравнения (1) будут
линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях
формул (13) и (14), начинаются с разных степеней x. В этом случае
общее решение уравнения (1) имеет вид:
y(x) = C
1
(x)J
ν
(x) + C
2
(x)J
−ν
(x),
где C
i
(i = 1, 2)- произвольные постоянные. Если ν = n
то решения
линейно зависимы, причем
J
−n
(x) = (−1)
n
J
n
(x). (16)
Для того чтобы найти общее решение уравнения (1) в этом случае,
необходимо найти второе линейно независимое от J
ν
(x) частное реше-
ние. Для этого введем новую функцию Y
ν
(x), положив
Y
ν
(x) =
J
ν
(x) cos νπ − J
−ν
(x)
sin ν
π
. (17)
Функция (17)
также является решением уравнения (1), так как она
представляет линейную комбинацию частных решений этого уравне-
ния. При ν ∈ Z правая часть (17) имеет неопределенность. Если рас-
крыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, можно получить
следующее представление:
Y
n
(x) = lim
ν→n
Y
ν
(x) =
2
π
J
n
(x)
ln
x
2
−
1
π
n−1
X
k=0
(n − k − 1)!
k!
(
x
2
)
−n+2k
−
−
1
π
∞
X
k=0
(−1)
k
(
x
2
)
n+2k
k!Γ(k + n +
1)
[
Γ
0
(k +
1)
Γ(k +
1)
+
Γ
0
(n + k +
1)
Γ(n + k +
1)
].
В
частном случае, при ν = 0, функция Y
0
(x) представляется следую-
щим образом:
Y
0
(x) =
2
π
J
0
(x)
ln
x
2
−
2
π
∞
X
k=0
(−1)
k
(
x
2
)
2k
(k!)
2
Γ
0
(k +
1)
Γ(k +
1)
.
Функция Y
ν
(x
) называется функцией Бесселя 2-го рода ν-го порядка
или функцией Вебера, причем при ν ∈ Z
|Y
ν
(x)| −→ ∞, x −→ 0.
Функции J
ν
(x) и Y
ν
(x) линейно независимы, следовательно, эти функ-
ции при всяком ν- дробном или целом образуют фундаментальную си-
стему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1)
может быть представлено в виде:
y = C
1
J
ν
(x) + C
2
Y
ν
(x).
110
∈
N
,
Если ν 6= n, то частные решения Jν (x) и J−ν (x) уравнения (1) будут
линейно независимыми, так как разложения, стоящие в правых частях
формул (13) и (14), начинаются с разных степеней x. В этом случае
общее решение уравнения (1) имеет вид:
                    y(x) = C1 (x)Jν (x) + C2 (x)J−ν (x),
где Ci (i = 1, 2)- произвольные постоянные. Если ν = n ∈ N,
то решения линейно зависимы, причем
                          J−n (x) = (−1)n Jn (x).               (16)
Для того чтобы найти общее решение уравнения (1) в этом случае,
необходимо найти второе линейно независимое от Jν (x) частное реше-
ние. Для этого введем новую функцию Yν (x), положив
                                Jν (x) cos νπ − J−ν (x)
                     Yν (x) =                           .       (17)
                                         sin νπ
Функция (17) также является решением уравнения (1), так как она
представляет линейную комбинацию частных решений этого уравне-
ния. При ν ∈ Z правая часть (17) имеет неопределенность. Если рас-
крыть эту неопределенность по правилу Лопиталя, можно получить
следующее представление:
                                             n−1
                        2         x 1 X (n − k − 1)! x −n+2k
   Yn (x) = lim Yν (x) = Jn (x) ln −                ( )      −
            ν→n         π         2 π        k!      2
                                             k=0

              ∞
            1 X (−1)k ( x2 )n+2k Γ0 (k + 1) Γ0 (n + k + 1)
          −                      [         +               ].
            π  k!Γ(k + n + 1) Γ(k + 1)       Γ(n + k + 1)
              k=0
В частном случае, при ν = 0, функция Y0 (x) представляется следую-
щим образом:
                                        ∞
                  2         x 2 X (−1)k ( x2 )2k Γ0 (k + 1)
          Y0 (x) = J0 (x) ln −                              .
                  π         2 π     (k!)2        Γ(k + 1)
                                       k=0
Функция Yν (x) называется функцией Бесселя 2-го рода ν-го порядка
или функцией Вебера, причем при ν ∈ Z
                         |Yν (x)| −→ ∞, x −→ 0.
Функции Jν (x) и Yν (x) линейно независимы, следовательно, эти функ-
ции при всяком ν - дробном или целом образуют фундаментальную си-
стему решений. Отсюда вытекает, что общее решение уравнения (1)
может быть представлено в виде:

                         y = C1 Jν (x) + C2 Yν (x).

                                     110

Страницы