Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

г
деρ -нек
оторое постоянное число, подлежащее определению. Подста-
вим (2) в (1), тогда получим
∞
X
k=0
a
k
(k + ρ)(k + ρ − 1)x
k+ρ
+
∞
X
k=0
a
k
(k + ρ)x
k+ρ
+
+
∞
X
k=0
a
k
x
k+ρ+2
− ν
2
∞
X
k=0
a
k
x
k+ρ
=
=
∞
X
k=0
[(k + ρ)(k + ρ −1) + (k + ρ) −ν
2
]a
k
x
k+ρ
+
∞
X
k0=0
a
k
x
k
0
+ρ+2
= 0. (3)
Заменим во второй сумме индекс суммирования k
0
на k − 2 тогда (3)
перепишется в виде:
∞
X
k=0
[(k + ρ)
2
− ν
2
]a
k
x
k+ρ
+
∞
X
k=2
a
k−2
x
k+ρ
= 0. (4)
Или, отделяя в первой сумме два первых слагаемых, перепишем (4) в
виде:
(ρ
2
−ν
2
)a
0
x
ρ
+[(1+ρ
2
)−ν
2
]a
1
x
1+ρ
+
∞
X
k=2
{[(k+ρ)
2
−ν
2
]a
k
+a
k−2
}x
k+ρ
= 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x будем
иметь
(ρ
2
− ν
2
)a
0
= 0,
[(1 + ρ)
2
− ν
2
]a
1
= 0,
[(k + ρ)
2
− ν
2
]a
k
+ a
k−2
= 0, k ≥ 2.
(5)
Так как a
0
6= 0, то из первого уравнения системы (5) имеем ρ
2
−ν
2
= 0,
откуда ρ = ±ν. Пусть ρ = ν, тогда из второго уравнения системы (5)
имеем (1 + 2ν)a
1
= 0, откуда следует, что
a
1
= 0, (6)
так как ν ≥ 0 и 2ν + 1 6= 0. Из последнего уравнения (5) получаем
a
k
= −
a
k−2
k(k +
2ν)
, k ≥ 2
,
и в силу (6) будем иметь
a
k
= 0, k = 2n + 1, n = 0, 1, ..., (7)
a
2n
= −
a
2n−2
4n(n +
1)
, n =
1, 2, ...,
108
0
где ρ -некоторое постоянное число, подлежащее определению. Подста-
вим (2) в (1), тогда получим
            ∞
            X                                                     ∞
                                                                  X
                                                       k+ρ
                  ak (k + ρ)(k + ρ − 1)x                      +         ak (k + ρ)xk+ρ +
            k=0                                                   k=0
                               ∞
                               X                              ∞
                                                              X
                                            k+ρ+2         2
                          +          ak x           −ν              ak xk+ρ =
                               k=0                            k=0
   ∞
   X                                               ∞
                                                   X
                                      2      k+ρ          0
 =   [(k + ρ)(k + ρ − 1) + (k + ρ) − ν ]ak x     +   ak0xk +ρ+2 = 0. (3)
      k=0                                                                   k0=0
Заменим во второй сумме индекс суммирования k0 на k − 2 тогда (3)
перепишется в виде:
                ∞
                X                                              ∞
                                                               X
                                 2          2       k+ρ
                        [(k + ρ) − ν ]ak x                +          ak−2 xk+ρ = 0.        (4)
                  k=0                                          k=2
Или, отделяя в первой сумме два первых слагаемых, перепишем (4) в
виде:

                                                       ∞
                                                       X
  2     2   ρ              2         2       1+ρ
(ρ −ν )a0 x +[(1+ρ )−ν ]a1 x                       +         {[(k+ρ)2 −ν 2 ]ak +ak−2 }xk+ρ = 0.
                                                       k=2

Приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x будем
иметь       2
           (ρ − ν 2 )a0 = 0,
             [(1 + ρ)2 − ν 2 ]a1 = 0,                     (5)
                    2     2
             [(k + ρ) − ν ]ak + ak−2 = 0, k ≥ 2.
Так как a0 6= 0, то из первого уравнения системы (5) имеем ρ2 −ν 2 = 0,
откуда ρ = ±ν. Пусть ρ = ν, тогда из второго уравнения системы (5)
имеем (1 + 2ν)a1 = 0, откуда следует, что
                                                a1 = 0,                                    (6)
так как ν ≥ 0 и 2ν + 1 6= 0. Из последнего уравнения (5) получаем
                                           ak−2
                               ak = −              ,                 k ≥ 2,
                                         k(k + 2ν)
и в силу (6) будем иметь

                           ak = 0, k = 2n + 1, n = 0, 1, ...,                              (7)
                                           a2n−2
                           a2n = −                 , n = 1, 2, ...,
                                         4n(n + 1)
                                                    108

Страницы