Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

О
т в
е т :
U =
P
∞
k=0
a
k
r
(2k+1)π
2α
cos
(2k+1)π
ϕ
2α
,
a
k
=
2
α
R
−
(2k+1)π
2α
R
α
0
f(ϕ)
cos
(2k+1)
πϕ
2α
dϕ.
З
А Н
Я Т И Е 18
Тема: ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ИХ СВОЙСТВА
При решении краевых задач методом Фурье (см. занятия 10-15)
для множителя X(x) приходят к задаче на собственные значения для
однородного уравнения
LX + λρ(x)X = 0, a < x < b,
где LX ≡
d
dx
[p(x)
dX
dx
] −q(x)X
.
В частности,
рассматривая задачу о продольных колебаниях
стержня, закрепленного на концах, мы приходим к задаче
X
00
+ λX = 0, X(0) = X(l) = 0,
соответствующей случаю a = 0, b = l, q ≡ 0, p(x) = ρ(x) ≡ const.
Решениями последнего уравнения при λ > 0 являются тригономет-
рические функции. При решении других задач (например, задачи о
собственных колебаниях круглой мембраны) приходят к уравнению
Бесселя:
x
2
y
00
+ xy
0
+ (x
2
− ν
2
)y = 0, (1)
где ν ≥ 0 − const. Уравнение (1) можно переписать в виде:
y
0
+
1
x
y
0
+
(1 −
ν
2
x
2
)y =
0,
отку
да следует, что уравнение (1) имеет особую точку x = 0. Поэтому,
как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений,
частное решение уравнения (1) отыскивается в виде обобщенного сте-
пенного ряда:
y = x
ρ
∞
X
k=0
a
k
x
k
=
∞
X
k=0
x
k+ρ
,
(2)
107
a
k
     Ответ:
         P             (2k+1)π
     U= ∞    k=0  ak r    2α   cos (2k+1)πϕ
                                      2α    ,
                (2k+1)π R α            (2k+1)πϕ
     ak = α2 R− 2α 0 f (ϕ) cos 2α dϕ.




                            З А Н Я Т И Е 18

          Тема: ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ИХ СВОЙСТВА

     При решении краевых задач методом Фурье (см. занятия 10-15)
для множителя X(x) приходят к задаче на собственные значения для
однородного уравнения

                     LX + λρ(x)X = 0, a < x < b,
          d
где LX ≡ dx [p(x) dX
                  dx ] − q(x)X.
     В частности, рассматривая задачу о продольных колебаниях
стержня, закрепленного на концах, мы приходим к задаче

                   X 00 + λX = 0, X(0) = X(l) = 0,
соответствующей случаю a = 0, b = l, q ≡ 0, p(x) = ρ(x) ≡ const.
Решениями последнего уравнения при λ > 0 являются тригономет-
рические функции. При решении других задач (например, задачи о
собственных колебаниях круглой мембраны) приходят к уравнению
Бесселя:

                      x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0,         (1)
где ν ≥ 0 − const. Уравнение (1) можно переписать в виде:

                        0 1 0       ν2
                     y + y + (1 − 2 )y = 0,
                          x         x
откуда следует, что уравнение (1) имеет особую точку x = 0. Поэтому,
как известно из курса обыкновенных дифференциальных уравнений,
частное решение уравнения (1) отыскивается в виде обобщенного сте-
пенного ряда:
                                 ∞
                                 X            ∞
                                              X
                       y=x   ρ            k
                                       ak x =   akxk+ρ ,         (2)
                                 k=0          k=0




                                        107

Страницы