Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

→
О
т в
е т: U = a
0
+
P
∞
k=1
r
k
k
a
k−1
(α
k
cos k
ϕ+β
k
sin kϕ), где a
0
- произ-
вольная постоянная, α
k
и β
k
определяются формулами (14). Необходи-
мое условие разрешимости задачи:
R
2π
0
f(ϕ)dϕ = 0. В частном случае
получаем U = a
0
+ Ar cos ϕ.
17.4. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
∆
U = x
2
1
+ x
2
2
(15)
в круге радиуса a по граничному условию
U |
|x|=a
= 0. (16
0
)
У к а з а н и е. Введем полярные координаты, тогда (15) и
(16
0
) примут вид
∂
2
U
∂
r
2
+
1
r
∂
U
∂
r
+
1
r
2
∂
2
U
∂
2
ϕ
= r
2
,
U(a,
ϕ) = 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
откуда следует, что решение U не зависит от ϕ, то есть
2
U
r
2
+
1
r
U
r
=
r
2
.
Р
ешая последнее
уравнение при условиях U(a) = 0, U() = O(1),
получим решение задачи.
О т в е т :
U =
(x
2
1
+x
2
2
)
2
16
−
a
4
16
.
17.5. (Зада
ча Дирихле
для сектора). Найти решение уравнения
Лапласа
∆U = 0, 0 < r < R, 0 < ϕ < α,
удовлетворяющее граничным условиям
U(r, 0) = U(r, α) = 0,
U(R, ϕ) = Aϕ, A −const. (17)
У к а з а н и е. Решение задачи проводится аналогично
задаче 17.1, но вместо условия (4) используется условие (17).
О т в е т :
U =
2Aα
π
P
∞
k=1
(−1)
k
k
(
r
R
)
π
k
α
sin
k
πϕ
α
.
Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
17.6. Написать решение третьей внутренней граничной задачи
для уравнения Лапласа в круге радиуса a, если граничное условие
записывается в виде
105
d
d d
d
r
+
1
r
0
                        P
     О т в е т: U = a0 + ∞    rk
                         k=1 kak−1 (αk cos kϕ+βk sin kϕ), где a0 - произ-
вольная постоянная, αk и βk определяются
                                     R 2π   формулами (14). Необходи-
мое условие разрешимости задачи: 0 f (ϕ)dϕ = 0. В частном случае
получаем U = a0 + Ar cos ϕ.
     17.4. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

                           ∆ U = x21 + x22                              (15)
в круге радиуса a по граничному условию

                           U ||x|=a = 0.                   (160 )
       У к а з а н и е. Введем полярные координаты, тогда (15) и
(160 ) примут вид

          ∂ 2 U 1 ∂U     1 ∂ 2U
              2
                +      + 2 2 = r2 , U (a, ϕ) = 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
          ∂r      r ∂r  r ∂ ϕ
откуда следует, что решение U не зависит от ϕ, то есть
                                     d2 U       1 d U = r2.
                                     dr2
                                            +   r dr
Решая последнее уравнение при условиях U (a) = 0, U (r) = O(1), r→ 0
получим решение задачи.
     Ответ:
           (x21 +x22 )2       a4
     U=         16        −   16 .

     17.5. (Задача Дирихле для сектора). Найти решение уравнения
Лапласа
                   ∆U = 0, 0 < r < R, 0 < ϕ < α,
удовлетворяющее граничным условиям

                         U (r, 0) = U (r, α) = 0,
                         U (R, ϕ) = Aϕ, A − const.            (17)
     У к а з а н и е. Решение задачи проводится аналогично
задаче 17.1, но вместо условия (4) используется условие (17).
     Ответ:
             P∞ (−1)k+1 r πk kπϕ
     U = 2Aα
          π   k=1 k ( R ) sin α .
                          α



                   Д о м а ш н е е                      з а д а н и е
     17.6. Написать решение третьей внутренней граничной задачи
для уравнения Лапласа в круге радиуса a, если граничное условие
записывается в виде

                                                  105

Страницы