Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

По
дставив
(6) в (1
0
) и разделив переменные, получим
Φ
00
(ϕ)
Φ(ϕ)
= −
r
2
R
00
(r)
+ rR
0
(
r)
R(r)
= −λ,
отку
да получаем
два уравнения
Φ
00
+ λΦ = 0, (7)
r
2
R
00
+ rR
0
− λR = 0 (8)
Записывая для (6) условие (4), имеем
Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ). (9)
Решим сначала задачу на собственные значения (7), (9). Общим реше-
нием (7) является функция
Φ(ϕ) = a cos
√
λϕ + b sin
√
λϕ. (10)
По
дставляя
(10) в (9), получим λ
k
= k
2
,
Φ
k
(ϕ) = a
k
cos kϕ + b
k
sin kϕ, k = 0, 1, 2, .... (11)
Найдем теперь R(r). При λ = λ
k
уравнение (8) является уравнением
Эйлера и принимает вид
r
2
R
00
k
+ rR
0
k
− k
2
R
k
= 0, k = 0, 1, 2, .... (8
k
)
Рассмотрим случай k = 0. Уравнение (8
k
) примет вид
rR
00
0
+ R
0
0
= 0.
Его общим решением будет функция R
0
(r) = c
0
+ d
0
ln r.
При λ
k
= k
2
6= 0 (8
k
) имеет общее решение
R
k
(r) = c
k
r
k
+ d
k
r
−k
.
Так как при r < a ограниченными решениями уравнений (8
k
) являют-
ся только функции R
1k
= r
k
, k = 0, 1, 2, ..., то по формуле (6) получаем
частные решения уравнения (1
0
), удовлетворяющие (4):
U
k
(r, ϕ) = r
k
(a
k
cos kϕ + b
k
sin kϕ), k = 0, 1, 2, ....
Ищем теперь общее решение в виде ряда
U = a
0
+
∞
X
k=1
(a
k
cos kϕ + b
k
sin kϕ)r
k
. (12)
Подставляя (12) в (5), будем иметь
103
.
Подставив (6) в (10 ) и разделив переменные, получим
                Φ00 (ϕ)    r2 R00 (r) + rR0 (r)
                        =−                      = −λ,
                 Φ(ϕ)              R(r)
откуда получаем два уравнения

                                Φ00 + λΦ = 0,                           (7)

                           r2 R00 + rR0 − λR = 0 .                      (8)
Записывая для (6) условие (4), имеем

                            Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ).                           (9)
Решим сначала задачу на собственные значения (7), (9). Общим реше-
нием (7) является функция
                               √          √
                   Φ(ϕ) = a cos λϕ + b sin λϕ.                (10)
Подставляя (10) в (9), получим λk = k 2 ,

              Φk (ϕ) = ak cos kϕ + bk sin kϕ, k = 0, 1, 2, ....        (11)
Найдем теперь R(r). При λ = λk уравнение (8) является уравнением
Эйлера и принимает вид

              r2 Rk00 + rRk0 − k 2 Rk = 0, k = 0, 1, 2, ....           (8k )
Рассмотрим случай k = 0. Уравнение (8k ) примет вид

                                rR000 + R00 = 0.
Его общим решением будет функция R0 (r) = c0 + d0 ln r.
     При λk = k 2 6= 0 (8k ) имеет общее решение

                          Rk (r) = ck rk + dk r−k .
Так как при r < a ограниченными решениями уравнений (8k ) являют-
ся только функции R1k = rk , k = 0, 1, 2, ..., то по формуле (6) получаем
частные решения уравнения (10 ), удовлетворяющие (4):

           Uk (r, ϕ) = rk (ak cos kϕ + bk sin kϕ), k = 0, 1, 2, ....
Ищем теперь общее решение в виде ряда
                        ∞
                        X
               U = a0 +   (ak cos kϕ + bk sin kϕ)rk .                  (12)
                          k=1
Подставляя (12) в (5), будем иметь


                                      103

Страницы