Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 102 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0
О
т в
е т :
∆U ≡
∂
2
U
∂
r
2
+
1
r
∂
U
∂
r
+
1
r
2
∂
2
U
∂
ϕ
2
.
З А
Н Я Т И Е 17
Тема. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
В СЛУЧАЕ КРУГОВЫХ ГРАНИЦ
При решении граничных задач в случае круга, сектора, кольца
осуществляется переход к полярным координатам r, ϕ : x
1
= r cos ϕ,
x
2
= r sin ϕ. Уравнение Лапласа при этом принимает вид
∂
2
U
∂
r
2
+
1
r
∂
U
∂
r
+
1
r
2
∂
2
U
∂
ϕ
2
= 0 (1
0
)
17.1. (Зада
ча Дирихле для круга).
Найти функцию U(x) ∈ C
2
(| x |< a) ∩ C(| x |≤ a), где x =
(x
1
, x
2
), удовлетворяющую уравнению
∆U = 0 (2
0
)
при | x |< a и граничному условию
U |
|x|=a
= f(y), f ∈ C(| x |= a) (3)
Р е ш е н и е. Введем полярные координаты r, ϕ с полюсом
в начале координат. Искомая функция U(x
1
, x
2
) перейдет в функцию
U(r, ϕ) (для удобства не меняем обозначение функции).
Уравнение (2
0
) перейдет в уравнение (1
0
) относительно U(r, ϕ).
Для того чтобы функция U(r, ϕ) была однозначной, необходимо, что-
бы она была периодической по ϕ:
U(r, ϕ + 2π) = U(r, ϕ). (4)
Граничное условие (3) запишется в виде
U |
r=a
= f(ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π, (5)
причем f(ϕ + 2π) = f(ϕ).
Итак, исходную задачу (2
0
), (3) мы привели к задаче (1
0
), (4),
(5). Решим ее методом Фурье. Ищем решение уравнения (1 ) в виде
U(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ). (6)
102
.
.
     Ответ:
            ∂2U       1 ∂U       1 ∂2U
     ∆U ≡   ∂r2   +   r ∂r   +   r2 ∂ϕ2 .




                                 ЗАНЯТИЕ             17

  Тема. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
              В СЛУЧАЕ КРУГОВЫХ ГРАНИЦ

     При решении граничных задач в случае круга, сектора, кольца
осуществляется переход к полярным координатам r, ϕ : x1 = r cos ϕ,
x2 = r sin ϕ. Уравнение Лапласа при этом принимает вид
                        ∂ 2 U 1 ∂U    1 ∂ 2U
                             +      + 2 2 = 0.                 (10)
                        ∂r2    r ∂r  r ∂ϕ
       17.1. (Задача Дирихле для круга).
       Найти функцию U (x) ∈ C 2 (| x |< a) ∩ C(| x |≤ a), где x =
(x1 , x2 ), удовлетворяющую уравнению

                                            ∆U = 0                 (20)
при | x |< a и граничному условию

                        U ||x|=a = f (y), f ∈ C(| x |= a) .         (3)
       Р е ш е н и е. Введем полярные координаты r, ϕ с полюсом
в начале координат. Искомая функция U (x1 , x2 ) перейдет в функцию
U (r, ϕ) (для удобства не меняем обозначение функции).
       Уравнение (20) перейдет в уравнение (10 ) относительно U (r, ϕ).
Для того чтобы функция U (r, ϕ) была однозначной, необходимо, что-
бы она была периодической по ϕ:

                              U (r, ϕ + 2π) = U (r, ϕ).             (4)
Граничное условие (3) запишется в виде

                             U |r=a = f (ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π,            (5)
причем f (ϕ + 2π) = f (ϕ).
      Итак, исходную задачу (2 0), (3) мы привели к задаче (10 ), (4),
(5). Решим ее методом Фурье. Ищем решение уравнения (10 ) в виде

                                 U (r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ).               (6)


                                             102

Страницы