Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(a,
ϕ) = a
0
+
∞
X
k=1
(
a
k
cos kϕ + b
k
sin kϕ)a
k
(13)
Предположим, что функция f(ϕ) раскладывается в тригонометриче-
ский ряд Фурье по косинусам и синусам кратных дуг на интервале
[0, 2π]. Тогда получаем, что (13) будет удовлетворено, если
a
0
= α
0
=
1
2π
Z
2π
0
f(ϕ)dϕ,
a
k
a
k
= α
k
=
1
π
Z
2π
0
f(ϕ)
cos kϕdϕ, (14)
a
k
b
k
= β
k
=
1
π
Z
2π
0
f(ϕ)
sin kϕdϕ.
Определив
из (14) a
0
, a
k
, b
k
, подставим их в (12), тогда получим реше-
ние задачи
U = α
0
+
∞
X
k=1
(
r
a
)
k
(α
k
cos k
ϕ + β
k
sin kϕ)
.
17.2. (Задача Дирихле для внешности круга). Найти функцию
U(x) ∈ C
2
(| x |> a) ∩C(| x |≥ a), удовлетворяющую уравнению (2
0
) в
конечных точках, граничному условию (3) и условию
U(x)
| x |→ ∞.
О т в е т :
U = α
0
+
P
∞
k=1
(
a
r
)
k
(α
k
cos k
ϕ + β
k
sin kϕ)
, где α
0
, α
k
, β
k
определя-
ются формулами (14).
17.3. Написать решение задачи Неймана для уравнения Лапласа
внутри круга радиуса a. Найти необходимое условие разрешимости
задачи. Рассмотреть частный случай, когда f =
Ax
1
a
.
У
к а
з а н и е. Для решения задачи переходим к полярным
координатам. Так как для окружности направление внешней норма-
ли совпадает с направлением радиуса, то граничное условие можно
записать в виде
∂U
∂
r
|
r=a
= f(
ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
104
=
f(ϕ)
=
о
( )
,
1
.
                                 ∞
                                 X
               U (a, ϕ) = a0 +         (ak cos kϕ + bk sin kϕ)ak =f (ϕ) .   (13)
                                 k=1
Предположим, что функция f (ϕ) раскладывается в тригонометриче-
ский ряд Фурье по косинусам и синусам кратных дуг на интервале
[0, 2π]. Тогда получаем, что (13) будет удовлетворено, если
                                         Z 2π
                                       1
                        a0 = α0 =             f (ϕ)dϕ,
                                      2π 0
                                      Z
                    k               1 2π
                   a ak = αk =             f (ϕ) cos kϕdϕ,           (14)
                                    π 0
                                      Z 2π
                                    1
                   ak bk = βk =            f (ϕ) sin kϕdϕ.
                                   π 0
Определив из (14) a0 , ak , bk , подставим их в (12), тогда получим реше-
ние задачи
                         ∞
                         X  r
                U = α0 +   ( )k (αk cos kϕ + βk sin kϕ).
                            a
                           k=1


      17.2. (Задача Дирихле для внешности круга). Найти функцию
U (x) ∈ C 2 (| x |> a) ∩ C(| x |≥ a), удовлетворяющую уравнению (20 ) в
конечных точках, граничному условию (3) и условию

                                  о
                          U (x)= (1 ), | x |→ ∞.

     Ответ:
             P
     U = α0 + ∞      a k
               k=1 ( r ) (αk cos kϕ + βk sin kϕ), где α0 , αk , βk определя-
ются формулами (14).
     17.3. Написать решение задачи Неймана для уравнения Лапласа
внутри круга радиуса a. Найти необходимое условие разрешимости
задачи. Рассмотреть частный случай, когда f = Axa 1 .
     У к а з а н и е. Для решения задачи переходим к полярным
координатам. Так как для окружности направление внешней норма-
ли совпадает с направлением радиуса, то граничное условие можно
записать в виде
                       ∂U
                          |r=a = f (ϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
                       ∂r



                                        104

Страницы