Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

[
∂
U
∂
r
− hU] |
r=a
= −
f(ϕ), h − const.
О т в е т :
U =
P
∞
k=1
r
k
a
k−1
(
k
−ah
)
(α
k
cos k
ϕ + β
k
sin kϕ)
α
0
h
,
г
де α
0
, α
k
,
β
k
определяются формулами (14).
17.7. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
∆U = −4 в круге радиуса a при граничном условии U |
|x|=a
= 0.
У к а з а н и е. При решении задачи можно восполь-
зоваться указанием к задаче 17.4. Можно также отыскивать реше-
ние в виде суммы двух функций U = V (x) + W (x), где V (x) удо-
влетворяет уравнению ∆V = −4, а W (x) является решением задачи
∆W = 0, W |
|x|=a
= −V. Нетрудно проверить, что V = −(x
2
1
+ x
2
2
),
U = a
2
− (x
2
1
+ x
2
2
).
17.8. (Задача Дирихле для кольца). Найти решение уравнения
∂
2
U
∂
r
2
+
1
r
∂
U
∂
r
+
1
r
2
∂
2
U
∂
ϕ
2
= 0
, 1 < r < 2,
удовлетворяющее условиям
U
r=1
= 0, U |
r=2
= 2A sin ϕ.
О т в е т :
U =
8A
3
sh(ln r)
sin ϕ.
17.9. Найти ст
ационарное распределение температуры в тонкой
пластинке, имеющей форму кругового сектора, радиусы которого под-
держиваются при температуре U
1
, а дуга окружности - при темпера-
туре U
2
, (U
1
, U
2
− const).
У к а з а н и е. Так как граничные условия при ϕ = 0 и
ϕ = α (радиусы сектора) ненулевые, но не зависят от r, то решение
можно искать в виде U(r, ϕ = V (ϕ) + W(r, ϕ), где функция V (ϕ)
удовлетворяет уравнению и граничным условиям V (0) = V (α) = U
1
.
О т в е т :
U = U
1
+
4(U
2
−U
1
)
π
P
∞
k=0
(
r
a
)
(2k+1)π
α
sin
(2k+1)π
ϕ
α
2k+1
.
17.10. Найти
гармоническую
функцию в круговом секторе 0 <
r < R, 0 < ϕ < α, удовлетворяющую граничному условию
U
ϕ
(r, 0) = U(r, α) = 0, U(R, ϕ) = f(ϕ).
106
+
     [ ∂U
       ∂r − hU ] |r=a = −f (ϕ), h − const.

     Ответ:
                 P
     U = αh0 + ∞    k=1 a k−1
                              rk
                              (ah− k) (αk cos kϕ + βk sin kϕ)
                                                              ,
     где α0 , αk , βk определяются формулами (14).
     17.7. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона
∆U = −4 в круге радиуса a при граничном условии U ||x|=a = 0.
     У к а з а н и е. При решении задачи можно восполь-
зоваться указанием к задаче 17.4. Можно также отыскивать реше-
ние в виде суммы двух функций U = V (x) + W (x), где V (x) удо-
влетворяет уравнению ∆V = −4, а W (x) является решением задачи
∆W = 0, W ||x|=a = −V. Нетрудно проверить, что V = −(x21 + x22 ),
U = a2 − (x21 + x22 ).
     17.8. (Задача Дирихле для кольца). Найти решение уравнения

              ∂ 2 U 1 ∂U    1 ∂ 2U
                   +      +        = 0, 1 < r < 2,
               ∂r2   r ∂r   r2 ∂ϕ2
удовлетворяющее условиям

                            Ur=1 = 0, U |r=2 = 2A sin ϕ.

     Ответ:
           8A
     U=     3   sh(ln r) sin ϕ.
     17.9. Найти стационарное распределение температуры в тонкой
пластинке, имеющей форму кругового сектора, радиусы которого под-
держиваются при температуре U1 , а дуга окружности - при темпера-
туре U2 , (U1 , U2 − const).
     У к а з а н и е. Так как граничные условия при ϕ = 0 и
ϕ = α (радиусы сектора) ненулевые, но не зависят от r, то решение
можно искать в виде U (r, ϕ = V (ϕ) + W (r, ϕ), где функция V (ϕ)
удовлетворяет уравнению и граничным условиям V (0) = V (α) = U1 .
     Ответ:
                   4(U2 −U1 )   P∞     r     (2k+1)π   sin (2k+1)πϕ
     U = U1 +          π         k=0 ( a )
                                                α
                                                           2k+1
                                                               α
                                                                    .
     17.10. Найти гармоническую функцию в круговом секторе 0 <
r < R, 0 < ϕ < α, удовлетворяющую граничному условию
     Uϕ (r, 0) = U (r, α) = 0, U (R, ϕ) = f (ϕ).




                                               106

Страницы