Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

О
т в
е т:
U = x
1
(a − x
1
) −
8a
2
π
3
∞
P
k=0
sin
(2k+1)π
x
1
a
c
h
π (2k+1)x
2
b
(2k+1)
3
c
h
(2k+1)πb
2a
.
16.3. Найти
решение уравнения
Лапласа в полуполосе: [0, a] ×
[0, ∞), удовлетворяющее условиям U |
x
1
=0
= U |
x
1
=a
= 0, 0 ≤ x
2
< ∞,
U |
x
2
=0
= A(1 − x
1
/a), lim
x
2
→∞
U(x
1
, x
2
) = 0, 0 ≤ x
1
≤ a.
У к а з а н и е. Задача Дирихле в данном случае с разрыв-
ными граничными условиями. Рассматривать решения, непрерывные в
замкнутой области, не имеет смысла, поэтому здесь постановка задачи
другая: требуется найти U(x) - гармоническую внутри Ω, непрерыв-
но примыкающую к граничным значениям в точках непрерывности
последних, ограниченную в
¯
Ω, причем условие ограниченности фак-
тически относится к окрестности точек разрыва.
О т в е т :
U =
2A
π
P
∞
k=1
1
e
−
π
kx
2
a
sin
π
kx
1
a
.
16.4. Найти
распределение потенциала
электростатического по-
ля U(x) = U(x
1
, x
2
, x
3
) внутри прямоугольного параллелепипеда с
проводящими стенками, если его боковые грани и верхнее основание
заземлены, а нижнее основание заряжено до потенциала V = const.
У к а з а н и е. Потенциал электростатического поля в
области, свободной от зарядов, удовлетворяет уравнению (1
0
), поэтому
задача сводится к решению уравнения (1
0
) внутри параллелепипеда с
измерениями a, b, c при граничных условиях:
U |
x
1
=0
= U |
x
1
=a
= 0, 0 ≤ x
2
≤ b, 0 ≤ x
3
≤ c,
U |
x
2
=0
= U |
x
2
=b
= 0, 0 ≤ x
1
≤ a, 0 ≤ x
3
≤ c, (19)
U |
x
3
=0
= U |
x
3
=c
= V, 0 ≤ x
1
≤ a, 0 ≤ x
2
≤ b.
В данном случае строим частные решения (1
0
), удовлетворяю-
щие (19) в виде
U(x) = U
1
(x
1
, x
2
)X
3
(x
3
),
тогда для U
1
получаем задачу на собственные значения, рассмотрен-
ную раньше (см. 10.3).
О т в е т :
U
=
P
∞
k
1
,k
2
=1
(a
k
1
,k
2
ch
p
λ
k
1
,k
2
x
3
)
+
b
k
1
,k
2
sh
p
λ
k
1
,k
2
x
3
)
sin
πk
1
x
1
a
sin
π
k
2
x
2
b
,
г
де
100
k
     О т в е т:
                           8a2
                                 P
                                 ∞
                                       sin
                                              (2k+1)πx1
                                                        ch
                                                           π(2k+1)x2
     U = x1 (a − x1 ) −    π3
                                                  a            b
                                                                       .
                                             (2k+1)3 ch (2k+1)πb
                                 k=0                        2a


      16.3. Найти решение уравнения Лапласа в полуполосе: [0, a] ×
[0, ∞), удовлетворяющее условиям U |x1 =0 = U |x1 =a = 0, 0 ≤ x2 < ∞,
      U |x2 =0 = A(1 − x1 /a), limx2 →∞ U (x1 , x2 ) = 0, 0 ≤ x1 ≤ a.
      У к а з а н и е. Задача Дирихле в данном случае с разрыв-
ными граничными условиями. Рассматривать решения, непрерывные в
замкнутой области, не имеет смысла, поэтому здесь постановка задачи
другая: требуется найти U (x) - гармоническую внутри Ω, непрерыв-
но примыкающую к граничным значениям в точках непрерывности
последних, ограниченную в Ω̄, причем условие ограниченности фак-
тически относится к окрестности точек разрыва.
     Ответ:
             P∞ 1 − πkx2
     U = 2Aπ   k=1 k
                        e a sin πkxa .
                                     1



     16.4. Найти распределение потенциала электростатического по-
ля U (x) = U (x1 , x2 , x3 ) внутри прямоугольного параллелепипеда с
проводящими стенками, если его боковые грани и верхнее основание
заземлены, а нижнее основание заряжено до потенциала V = const.
     У к а з а н и е. Потенциал электростатического поля в
области, свободной от зарядов, удовлетворяет уравнению (10 ), поэтому
задача сводится к решению уравнения (10 ) внутри параллелепипеда с
измерениями a, b, c при граничных условиях:
               U |x1 =0 = U |x1 =a = 0, 0 ≤ x2 ≤ b, 0 ≤ x3 ≤ c,

               U |x2 =0 = U |x2 =b = 0, 0 ≤ x1 ≤ a, 0 ≤ x3 ≤ c,                 (19)

               U |x3 =0 = U |x3 =c = V, 0 ≤ x1 ≤ a, 0 ≤ x2 ≤ b.
     В данном случае строим частные решения (10 ), удовлетворяю-
щие (19) в виде
                    U (x) = U1 (x1 , x2 )X3 (x3 ),
тогда для U1 получаем задачу на собственные значения, рассмотрен-
ную раньше (см. 10.3).
     Ответ:
      P∞                   p                         p                πk x     πk x
  U = k1 ,k2 =1 (ak1 ,k2 ch λk1 ,k2 x3 ) + bk1 ,k2 sh λk1 ,k2 x3 ) sin a1 1 sin b2 2 ,
     где



                                               100

Страницы