Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U
2
|
x
2
=0
= B sin
π
x
1
a
,
U
2
|
x
2
=b
=
0, 0 ≤ x
1
≤ a (4)
Остановимся на отыскании U
1
. Строим частные решения уравнения
(1
0
), имеющие вид
U
1
(x) = X
1
(x
1
)X
2
(x
2
) (6)
и удовлетворяющие (4
0
). Подставляя (6) в (1
0
) и (4
0
), получим
X
00
1
− λX
1
= 0, (7)
X
00
2
+ λX
2
= 0, (8)
X
2
(0) = 0, X
2
(b) = 0. (9)
Для определения X
2
(x
2
) пришли к задаче на собственные значения
(8),(9) (см. 10.1). Ее решения имеют вид
λ
k
= (
πk
b
)
2
,
X
2k
=
sin
πk
b
x
2
,
k = 1, 2
, ....
При λ = λ
k
получаем уравнение для определения X
1
(x
1
)
X
00
1k
− (
πk
b
)
2
X
1k
=
0.
Его
общее решение имеет вид
X
1k
(x
1
) = a
k
ch
πk
b
x
1
+ b
k
sh
π
k
b
x
1
,
k = 1
, 2, ....
В силу (6) функция U
1k
= X
1k
X
2k
является решением уравнения (1
0
) с
граничным условием (4
0
). Берем общее решение задачи для U
1
в виде
ряда
U
1
=
∞
X
k=1
U
1k
=
∞
X
k=1
(a
k
ch
πk
b
x
1
+ b
k
sh
π
k
b
x
1
)
sin
πk
b
x
2
. (10)
По
дберем к
оэффициенты a
k
и b
k
так, чтобы выполнялись условия (3).
Полагая в (10) x
1
= 0 и x
1
= a, получим
U
1
(0, x
2
) =
∞
X
k=1
a
k
sin
πk
b
x
2
= Ax
2
(b − x
2
), 0 ≤ x
2
≤ b,
U
1
(a,
x
2
) =
∞
X
k=1
(
a
k
ch
πk
b
+ b
k
sh
π
k
b
)
sin
πk
b
x
2
=
0, 0 ≤ x
2
≤ b,
98
a
k
a
                          πx1
                              , U2 |x2 =b = 0, 0 ≤ x1 ≤ a
                   U2 |x2 =0 = B sin                        (4)
                            a
Остановимся на отыскании U1 . Строим частные решения уравнения
(10 ), имеющие вид
                     U1 (x) = X1 (x1 )X2 (x2 )              (6)
и удовлетворяющие (40 ). Подставляя (6) в (10 ) и (40 ), получим

                                        X100 − λX1 = 0,                            (7)

                                        X200 + λX2 = 0,                            (8)

                                  X2 (0) = 0, X2 (b) = 0.                          (9)
Для определения X2 (x2 ) пришли к задаче на собственные значения
(8),(9) (см. 10.1). Ее решения имеют вид
                               πk 2            πk
                     λk = (       ) , X2k = sin x2 , k = 1, 2, ....
                                b               b
При λ = λk получаем уравнение для определения X1 (x1 )

                                    00       πk 2
                                   X1k −(       ) X1k = 0.
                                              b
Его общее решение имеет вид
                                        πk           πk
              X1k (x1 ) = ak ch            x1 + bk sh x1 , k = 1, 2, ....
                                         b            b
В силу (6) функция U1k = X1k X2k является решением уравнения (10 ) с
граничным условием (40 ). Берем общее решение задачи для U1 в виде
ряда
                   ∞
                   X             ∞
                                 X       πk         πk       πk
         U1 =            U1k   =   (ak ch x1 + bk sh x1 ) sin x2 .              (10)
                                          b          b        b
                   k=1            k=1

Подберем коэффициенты ak и bk так, чтобы выполнялись условия (3).
Полагая в (10) x1 = 0 и x1 = a, получим
                           ∞
                           X               πk
          U1 (0, x2 ) =           ak sin      x2 = Ax2 (b − x2 ), 0 ≤ x2 ≤ b,
                                            b
                           k=1


                   ∞
                   X              πk            πk
   U1 (a, x2 ) =         (ak ch      ak + bk sh    a) sin πk x2 = 0, 0 ≤ x2 ≤ b,
                                   b             b         b
                   k=1


                                               98

Страницы