Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

О
т в
е т : U = At(1 −
x
l
) −
Al
2
6a
2
[(
x
l
)
3
− 3(
x
l
)
2
+
2(
x
l
)]
+
2Al
2
π
3
a
2
P
∞
k=1
e
−
k
2
π
2
a
2
l
2
t
k
3
sin
k
πx
l
.
З
А Н
Я Т И Е 16
Тема. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
В СЛУЧАЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Уравнения Пуассона и Лапласа являются уравнениями эллип-
тического типа, которые описывают стационарные (не меняющиеся со
временем) процессы различной физической природы. Уравнение Пуас-
сона имеет вид
∆U = −F(x), (1)
где F (x)- заданная функция, а ∆U ≡
P
n
i=1
∂
2
U
∂
x
2
i
- оператор
Лапласа. В
частности, при F (x) ≡ 0 имеем уравнение Лапласа
∆U = 0. (1
0
)
Пусть Ω ∈ R
n
- конечная область. Функция U(x) ∈ C
2
(Ω) и удо-
влетворяющая (1
0
) в Ω называется гармонической в области Ω. Функ-
ция U(x) называется гармонической в бесконечной области Ω, если
в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии
U ∈ C
2
и удовлетворяет уравнению (1
0
), а для достаточно больших
| x | удовлетворяет условию
U(x) = O(
1
| x |
n−2
). (2)
Т
ак к
ак уравнение (1) описывает стационарные процессы, то кра-
евые задачи для него характеризуются только граничными условиями
и носят название граничных.
I. Задача Дирихле. Найти U(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C(
¯
Ω), удовлетворяю-
щую (1) в Ω и удовлетворяющую на границе ∂Ω условию
U |
∂Ω
= f
1
(y), y ∈ ∂Ω.
II. Задача Неймана. Найти U(x) ∈ C
2
(Ω) ∩ C
1
(
¯
Ω), удовлетворя-
ющую (1) в Ω и условию
∂U
∂
n
|
∂Ω
= f
2
(y)
, где ~n — внешняя нормаль к
∂Ω.
96
Замечание.
Если отыскивать функцию
U
2
(x , t)
в виде
U
2
=
P
∞
k=1
T
k
(t)
sin
kπx
l
тогда
U =
At(1 −
x
l
)+
P
∞
k=1
[(
−
e
−
k
2
π
2
a
2
l
2
t
1
]
2Al
2
π
3
a
2
k
2
sin
k
πx
l
                                         x        Al2 x 3
        О т в е т : U = At(1 −           l)   −   6a2 [( l )   − 3( xl )2 + 2( xl )] +
2Al2
       P∞ e− k2 πl22 a2 t
π 3 a2  k=1   k3          sin kπx
                               l .
Замечание. Если отыскивать функцию U2 (x , t) в виде
    P∞             kπx
U2 = k=1 Tk (t) sin l  тогда
                             P∞         2 2 2
                                     − k π2 a t     2Al2        kπx
                           x
             U = At(1 − l ) + k=1 [(e    l      −1] π3 a2 k2 sin l


                   З А Н Я Т И Е 16
  Тема. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
   В СЛУЧАЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

     Уравнения Пуассона и Лапласа являются уравнениями эллип-
тического типа, которые описывают стационарные (не меняющиеся со
временем) процессы различной физической природы. Уравнение Пуас-
сона имеет вид

                           ∆U = −F (x),                       (1)
                                     Pn ∂ 2 U
где F (x)- заданная функция, а ∆U ≡ i=1 ∂x2 - оператор Лапласа. В
                                            i
частности, при F (x) ≡ 0 имеем уравнение Лапласа

                                 ∆U = 0.                                          (1 0)
       Пусть Ω ∈ Rn - конечная область. Функция U (x) ∈ C 2 (Ω) и удо-
влетворяющая (10 ) в Ω называется гармонической в области Ω. Функ-
ция U (x) называется гармонической в бесконечной области Ω, если
в каждой точке этой области, находящейся на конечном расстоянии
U ∈ C 2 и удовлетворяет уравнению (10 ), а для достаточно больших
| x | удовлетворяет условию
                                             1
                           U (x) = O(             ).                               (2)
                                         | x |n−2
     Так как уравнение (1) описывает стационарные процессы, то кра-
евые задачи для него характеризуются только граничными условиями
и носят название граничных.
     I. Задача Дирихле. Найти U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω̄), удовлетворяю-
щую (1) в Ω и удовлетворяющую на границе ∂Ω условию

                          U |∂Ω = f1 (y), y ∈ ∂Ω.
    II. Задача Неймана. Найти U (x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω̄), удовлетворя-
ющую (1) в Ω и условию ∂U
                        ∂n |∂Ω = f2 (y), где ~
                                             n — внешняя нормаль к
∂Ω.

                                    96

Страницы