ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
+
2
π
P
∞
k=1
1
k
(U
0
− U
1
)[1 − (−1)
k
]
+ (
−1)
k+1
(U
1
− U
2
)e
−
k
2
π
2
a
2
l
2
sin
π
k
l
x.
15.6. Дана
тонкая
однородная прямоугольная пластинка со сто-
ронами l и m (совпадающими с осями координат), для которой извест-
но начальное распределение температуры. Основания пластинки теп-
лоизолированы, стороны x
1
= 0, x
2
= l во все время наблюдения удер-
живаются при температуре, равной нулю, а стороны x
2
= 0, x
2
= m
имеют заданное распределение температуры
U |
x
2
=0
= ϕ(x
1
), U |
x
2
=m
= ϕ
1
(x
1
), 0 ≤ x
1
≤ l.
Найти температуру U(x
1
, x
2
, t) пластинки в момент времени t >
0.
У к а з а н и е. Постановка задачи дана в 2.3. Решение
следует искать в виде U = U
1
(x
1
, x
2
) + U
2
(x
1
, x
2
, t), где U
1
- решение
уравнения Лапласа ∆U
1
= 0 при условиях
U
1
|
x
1
=0
= 0, U
1
|
x
1
=l
= 0, U
1
|
x
2
=0
= ϕ
0
(x
1
), U
1
|
x
2
=m
= ϕ
1
(x
1
), а
U
2
есть решение уравнения U
2t
= a
2
(U
2x
1
x
1
+ U
2x
2
x
2
) при условиях
U
2
(x
1
, x
2
, 0) = ϕ(x
1
, x
2
) − U
1
(x
1
, x
2
), U
2
|
x
1
=0
= U
2
|
x
1
=l
= U
2
|
x
2
=0
=
U
2
|
x
2
=m
= 0.
О т в е т :
U = U
1
+ U
2
, U
1
=
2
l
∞
X
k=1
[sh
k
π(m − x
2
)
l
Z
l
0
ϕ
0
(x
1
)
sin
πk
x
1
l
dx
1
+
sh
πk
x
2
l
Z
l
0
ϕ
1
(x
1
)
sin
πk
x
1
l
dx
1
]
sin
k
πx
1
l
sh
k
πm
l
,
U
2
=
4
l
m
∞
X
k
1
,k
2
=1
e
−a
2
π
2
(
k
2
1
l
2
+
k
2
2
m
2
)t
sin
k
1
π
x
1
l
sin
k
2
π
x
2
m
Z
l
0
Z
m
0
[ϕ(x
1
,
x
2
) −
− U
1
(x
1
,
x
2
)] sin
k
1
πx
1
l
sin
k
2
π
x
2
m
dx
1
dx
2
.
15.7. Дан
тонкий о
днородный стержень длиной l, начальная тем-
пература которого равна нулю. На конце x = l температура поддержи-
вается равной нулю, а на конце x = 0 она растет линейно со временем
так, что U(0, t) = At, где A−const. Найти распределение температуры
вдоль стержня при t > 0.
У к а з а н и е. Применить метод, рассмотренный на занятии
14, т.е. отыскивать решение задачи в виде суммы U = U
1
(x, t)+U
2
(x, t),
где U
1
∈ C
2,1
(Q
∞
) ∩ C(
¯
Q
∞
) и удовлетворяет граничным условиям,
причем следует отыскивать U
1
в виде U
1
= A(t)x + B(t) (см. занятие
14).
95
0
P∞ k 2 π 2 a2
+ π2 1
k=1 k (U0 − U1 )[1 − (−1)k ] + (−1)k+1 (U1 − U2 )e− l2 sin πkl x.
15.6. Дана тонкая однородная прямоугольная пластинка со сто-
ронами l и m (совпадающими с осями координат), для которой извест-
но начальное распределение температуры. Основания пластинки теп-
лоизолированы, стороны x1 = 0, x2 = l во все время наблюдения удер-
живаются при температуре, равной нулю, а стороны x2 = 0, x2 = m
имеют заданное распределение температуры
U |x2 =0 = ϕ(x
0 1
), U |x2 =m = ϕ1 (x1 ), 0 ≤ x1 ≤ l.
Найти температуру U (x1 , x2 , t) пластинки в момент времени t >
0.
У к а з а н и е. Постановка задачи дана в 2.3. Решение
следует искать в виде U = U1 (x1 , x2 ) + U2 (x1 , x2 , t), где U1 - решение
уравнения Лапласа ∆U1 = 0 при условиях
U1 |x1 =0 = 0, U1 |x1 =l = 0, U1 |x2 =0 = ϕ0 (x1 ), U1 |x2 =m = ϕ1 (x1 ), а
U2 есть решение уравнения U2t = a2 (U2x1 x1 + U2x2 x2 ) при условиях
U2 (x1 , x2 , 0) = ϕ(x1 , x2 ) − U1 (x1 , x2 ), U2 |x1 =0 = U2 |x1 =l = U2 |x2 =0 =
U2 |x2 =m = 0.
Ответ:
∞ Z
2 X kπ(m − x2 ) l πkx1
U = U1 + U2 , U 1 = [sh ϕ0 (x1 ) sin dx1
l l 0 l
k=1
Z l
πkx2 πkx1 sin kπx
l
1
+ sh ϕ1 (x1 ) sin dx1 ] kπm ,
l 0 l sh l
∞ Z Z
4 X −a2 π2 ( k212 + k222 )t k1 πx1 k2 πx2 l m
U2 = e l m sin sin [ϕ(x1 , x2 ) −
lm l m 0 0
k1 ,k2 =1
k1 πx1 k2 πx2
− U1 (x1 , x2 )] sin sin dx1 dx2 .
l m
15.7. Дан тонкий однородный стержень длиной l, начальная тем-
пература которого равна нулю. На конце x = l температура поддержи-
вается равной нулю, а на конце x = 0 она растет линейно со временем
так, что U (0, t) = At, где A−const. Найти распределение температуры
вдоль стержня при t > 0.
У к а з а н и е. Применить метод, рассмотренный на занятии
14, т.е. отыскивать решение задачи в виде суммы U = U1 (x, t)+U2 (x, t),
где U1 ∈ C 2,1 (Q∞ ) ∩ C(Q̄∞ ) и удовлетворяет граничным условиям,
причем следует отыскивать U1 в виде U1 = A(t)x + B(t) (см. занятие
14).
95
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- …
- следующая ›
- последняя »
