Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

X
00
+ λX =
0, X(0)
= X(l) = 0, (8)
T
0
+ a
2
λT = 0 (9)
Задача (8) была рассмотрена на занятии 10 (см. 10.1) и имеет решение
λ
k
= (
πk
l
)
2
,
X
k
(x
) = sin
πk
l
x,
k = 1
, 2, ....
Подставляя λ
k
в (9), получаем уравнение для определения T
k
(t)
T
0
k
+ (
aπk
l
)
2
T
k
=
0, k =
1, 2, ...,
общее решение которого имеет вид
T
k
(t) = a
k
e
−(
aπ k
l
)
2
t
,
г
де a
k
- произвольная
постоянная.
2. Ищем общее решение задачи в виде ряда
U =
∞
X
k=1
U
k
(x, t) =
∞
X
k=1
a
k
e
−(
aπ k
l
)
2
t
sin
π
k
l
x. (10)
Запишем
для (10)
(5)
U(x, 0) =
∞
X
k=1
a
k
sin
πk
l
x = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l
,
откуда
a
k
=
2
l
Z
l
0
ϕ(x)
sin
πk
l
xdx. (11)
По
дставляя
(11) в (10), получаем решение задачи.
15.2. Найти температуру однородного изотропного прямоуголь-
ного параллелепипеда Ω с измерениями l
i
, i = 1, 2, 3, если его началь-
ная температура является произвольной функцией x(x
1
, x
2
, x
3
), а тем-
пература поверхности поддерживается равной нулю.
У к а з а н и е. Постановка задачи была дана в 2.7. Для ре-
шения задачи отыскиваем частные решения уравнения, удовлетворя-
ющие граничному условию, в виде U = U(x
1
, x
2
, x
3
)T (t), тогда для U
1
приходим к задаче на собственные значения: ∆U
1
= −λU
1
, U |
∂Ω
= 0,
которую решаем методом разделения переменных (см. 10. 3.).
О т в е т :
U =
P
∞
k
1
,k
2
,k
3
=1
c
k
1
k
2
k
3
e
−a
2
λ
k
1
k
2
k
3
t
× sin
πk
1
l
1
x
1
sin
π
k
2
l
2
x
2
sin
π
k
3
l
3
x
3
,
93
1
1
.
                          X 00 + λX = 0, X(0) = X(l) = 0,                                          (8)

                                       T 0 + a2 λT = 0 .                                           (9)
Задача (8) была рассмотрена на занятии 10 (см. 10.1) и имеет решение
                     πk 2               πk
                   λk = (
                        ) , Xk (x) = sin x, k = 1, 2, ....
                      l                  l
Подставляя λk в (9), получаем уравнение для определения Tk (t)
                        aπk 2
                           Tk0 + (
                           ) Tk = 0, k = 1, 2, ...,
                         l
общее решение которого имеет вид
                                                        aπk 2
                                     Tk (t) = ak e−(     l ) t   ,
где ak - произвольная постоянная.
      2. Ищем общее решение задачи в виде ряда
                          ∞
                          X                     ∞
                                                X              aπk 2          πk
                   U=           Uk (x, t) =           ak e−(    l ) t   sin      x.               (10)
                                                                               l
                          k=1                   k=1
Запишем для (10) (5)
                                 ∞
                                 X              πk
                  U (x, 0) =           ak sin      x = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l,
                                                 l
                                 k=1
откуда
                            Z
                           2 l         πk
                     ak =      ϕ(x) sin xdx.                                                      (11)
                           l 0          l
Подставляя (11) в (10), получаем решение задачи.
     15.2. Найти температуру однородного изотропного прямоуголь-
ного параллелепипеда Ω с измерениями li , i = 1, 2, 3, если его началь-
ная температура является произвольной функцией x(x1 , x2 , x3 ), а тем-
пература поверхности поддерживается равной нулю.
     У к а з а н и е. Постановка задачи была дана в 2.7. Для ре-
шения задачи отыскиваем частные решения уравнения, удовлетворя-
ющие граничному условию, в виде U = U1(x1 , x2 , x3 )T (t), тогда для U1
приходим к задаче на собственные значения: ∆U1 = −λU1 , U1 |∂Ω = 0,
которую решаем методом разделения переменных (см. 10. 3.).
     О т в е т:
         P
     U= ∞  k1 ,k2 ,k3 =1 ck1 k2 k3 e
                                     −a2 λk1 k2 k3 t
                                                     × sin πkl11 x1 sin πkl22 x2 sin πkl33 x3 ,

                                                93

Страницы