Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t
π
E
S
µ
)
Д о
м а ш н е е з а д а н и е
14.4. Изучить продольные колебания однородного цилиндриче-
ского стержня, один конец которого заделан, а к другому концу прило-
жена сила F = A sin ωt, направление которой совпадает с осью стерж-
ня (см. 1.7).
О т в е т:
U =
Aa
E
Sω
sin
ω
a
x sin ω
t
cos
ω
a
l
+
aAω
P
∞
k=0
(−1)
k
sin
x
k
=
(2k+1)π
2l
,
ω 6= µ
k
a.
14.5. U
tt
+ U
t
= U
xx
, 0 <
x < 1
, U |
t=0
= 0, U
t
|
t=0
= 1 −x, U |
x=0
=
t, U |
x=1
= 0.
О т в е т:
U = t(1 −x
P
∞
k=1
e
−
t
2
1
(k
π)
3
[2 cos λ
k
t
+
1
λ
k
sin λ
k
t −2]
sin πk
x, λ
k
=
q
(k
π)
2
−
1
4
.
14.6. U
tt
= a
2
U
xx
+ f(x), 0 <
x < l, U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
=
α, U |
x=l
= β,
α, β - const.
О т в е т:
U = U
1
+ U
2
, где
U
1
= −
1
a
2
R
x
0
[
R
y
0
f(ξ)dξ]dy +
x
l
a
2
R
l
0
[
R
y
0
f(ξ)
dξ]dy +
β−α
l
x + α
,
U
2
=
∞
P
k=1
a
k
cos
πk
a
l
t,
a
k
= −
2
l
l
R
0
U
1
(x)
sin
πk
l
xdx
З
А Н
Я Т И Е 15
Тема. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Дано уравнение диффузии
ρ(x)U
t
=
n
X
i=1
∂
∂
x
i
(p
(x)
∂U
∂
x
i
) − q(x
)U + f(x, t), (1)
(x, t) ∈ Q
∞
= Ω × (0, ∞), Ω ⊂ R
n
x
91
−
16
l
3
(2k+1)
(2k+1)π
2l
sin
(2k+1)π
2l
                   Д о м а ш н е е             з а д а н и е
      14.4. Изучить продольные колебания однородного цилиндриче-
ского стержня, один конец которого заделан, а к другому концу прило-
жена сила F = A sin ωt, направление которой совпадает с осью стерж-
ня (см. 1.7).
      О т в е т:
                                                         (2k+1)π sin (2k+1)π t
               ω                    3 P∞        k sin      x
       Aa
 U = ESω
           sin a x sin ωt
                          +16 aAω l        (−1)       2l         2l      , µk = (2k+1)π
                   ω
               cos a l       ES π      k=0             (2k+1)                      2l
ω 6= µk a.
       14.5. Utt + Ut = Uxx , 0 < x < 1, U |t=0 = 0, Ut |t=0 = 1 − x, U |x=0 =
t, U |x=1 = 0.
       О т в е т:
                      P
       U = t(1 − x) − ∞ k=1 e
                              − 2t 1                 1
                                  (kπ)3 [2 cos λk t+ λk sin λk t − 2] sin πkx, λk =
q
   (kπ)2 − 41 .

      14.6. Utt = a2 Uxx + f (x), 0 < x < l, U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 =
α, U |x=l = β,
        α, β - const.
      О т в е т:
      U = U1 + RU2 ,Rгде                 Rl Ry
                   x y                                            β−α
      U1 = − a12 0 [ 0 f (ξ)dξ]dy + lax2 0 [ 0 f (ξ)dξ]dy +        l x   + α,
           P
           ∞                          Rl
      U2 =                         2
                ak cos l t, ak = − l U1 (x) sin πkl xdx
                      πka
             k=1                          0




                                З А Н Я Т И Е 15

    Тема. МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
        ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

      Дано уравнение диффузии
                        Xn
                             ∂         ∂U
               ρ(x)Ut =          (p(x)      ) − q(x)U + f (x, t),                  (1)
                        i=1
                            ∂x i       ∂x i

                      (x, t) ∈ Q∞ = Ω × (0, ∞), Ω ⊂ Rxn

                                          91

Страницы