Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 89 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U
1
(x,
t) = X(
x)T (t). (4)
Подставляя (4) в (1
0
) и (3), как и раньше, получаем
X
00
+ λX = 0 (5)
X(0) = 0, X(l)T (t) = A sin ωt (6)
T
00
+ a
2
λT = 0 (7)
Общие решения уравнений (5) и (7) при λ > 0 имеют соответ-
ственно вид:
X(x) = C
1
cos
√
λx + C
2
sin
√
λx,
T (t)
= C
3
cos a
√
λt + C
4
sin a
√
λt.
Из
первого у
словия (6) имеем
X(0) = C
1
= 0 (8)
Запишем второе условие (6), учитывая при этом (8)
X(l)T (t) = C
2
sin
√
λl(C
3
cos a
√
λt + C
4
sin a
√
λt)
= A sin ωt (9)
Или
перепишем левую часть (9) в виде:
p
C
2
+ D
2
sin
√
λl(
C
√
C
2
+ D
2
cos a
√
λt +
D
√
C
2
+ D
2
sin a
√
λt)
=
=
p
C
2
+ D
2
sin
√
λl(sin ϕ cos a
√
λt+
+
cos ϕ sin a
√
λt)
=
p
C
2
+ D
2
sin
√
λl sin(ϕ + a
√
λt), (10)
г
де C = C
2
C
3
, D = C
2
C
4
, sin ϕ =
C
√
C
2
+D
2
, cos ϕ =
D
√
C
2
+D
2
. Учитывая
(10),
из (9)получим
p
C
2
+ D
2
sin
√
λl sin(ϕ + a
√
λt)
= A sin ωt,
отку
да имеем
p
C
2
+ D
2
sin
√
λl = A,
a
√
λ = ω,
ϕ =
2πk, k = 0, ±1, ... (11)
Из (11) следует
89
.
,
,
,
.
.
                          U1 (x, t) = X(x)T (t).                      (4)
     Подставляя (4) в (10 ) и (3), как и раньше, получаем

                              X 00 + λX = 0 ,                         (5)

                     X(0) = 0, X(l)T (t) = A sin ωt ,                 (6)

                             T 00 + a2 λT = 0 .                       (7)
     Общие решения уравнений (5) и (7) при λ > 0 имеют соответ-
ственно вид:
                            √            √
               X(x) = C1 cos λx + C2 sin λx,
                                   √             √
                   T (t) = C3 cos a λt + C4 sin a λt.
     Из первого условия (6) имеем

                             X(0) = C1 = 0 .                          (8)
     Запишем второе условие (6), учитывая при этом (8) ,

                      √           √             √
    X(l)T (t) = C2 sin λl(C3 cos a λt + C4 sin a λt) = A sin ωt .     (9)
     Или перепишем левую часть (9) в виде:

   p            √         C          √          D          √
     2     2
    C + D sin λl(    √          cos a λt + √          sin a λt) =
                       C 2 + D2              C 2 + D2
                   p            √             √
                = C 2 + D2 sin λl(sin ϕ cos a λt+
                    √       p            √             √
       + cos ϕ sin a λt) = C 2 + D2 sin λl sin(ϕ + a λt),        (10)
где C = C2 C3 , D = C2 C4 , sin ϕ = √C 2C+D2 , cos ϕ = √C 2D+D2 . Учитывая
(10), из (9)получим
              p              √             √
                C 2 + D2 sin λl sin(ϕ + a λt) = A sin ωt,
откуда имеем
                   p               √         √
                       C 2 + D2 sin λl = A, a λ = ω,

                          ϕ = 2πk, k = 0, ±1, ...                    (11)
     Из (11) следует

                                    89

Страницы