Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Замечание
3. Рассмотрим
задачу со стационарными неоднород-
ностями
U
tt
= a
2
U
xx
+ f(x), 0 < x < l, t > 0 (1
∗
)
U(x, 0) = ϕ(x), U
t
(x, 0) = ψ(x) (2)
[αU + βU
x
] |
x=0
= σ
1
, [γU + δU
x
] |
x=l
= σ
2
, (3
∗
)
где σ
1
, σ
2
- const. Ее решение можно отыскивать в виде
U = U
1
(x) + U
2
(x, t), (4)
где U
1
(x) удовлетворяет (1 ),(3 ), т.е. задаче
a
2
U
00
1
+ f = 0, αU
1
(0) + βU
0
1
(0) = σ
1
, γU
1
(l) + δU
0
1
(l) = σ
2
. Найдя
U
1
и подставляя ее в (4), получаем для U
2
известную задачу:
U
2tt
= a
2
U
2xx
, U
2
(x, 0) = ϕ(x) − U
1
(x, 0), U
2t
(x, 0) = ψ(x),
αU
2
(0, t) + βU
2x
(0, t) = 0, γU
2
(l, t) + δU
2x
(l, t) = 0.
Замечание 4. Если в (3
∗
)α, γ = 0, то U ищут в виде U=U
1
(x)+
U
2
(x, t),
где U
1
= Ax
2
+Bx, причем постоянные A, B подбирают таким
чтобы U
1
удовлетворяла (3
∗
). Тогда U
2
удовлетворяет задаче
U
2tt
= a
2
U
2xx
+ f(x) + 2Aa
2
, U
2
(x, 0) = ϕ(x) − U
1
(x), U
2t
(x, 0) =
ψ(x),
U
2x
(0, t) = 0, U
2x
(l, t) = 0.
З а д а ч и
14.1. U
xx
= U
tt
, 0 < x < l, U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U|
x=0
, U |
x=l
= t.
О т в е т:
U =
xt
l
+
P
∞
k=1
(−1)
k
2l
(π
k)
2
sin
πk
x
l
sin
π
kt
l
.
14.2. Изучить
вынужденные к
олебания струны, закрепленной на
конце x = 0 и подверженной на конце x = l действию возмущающей
гармонической силы, вызывающей смещение, равное A sin ωt(A, ω −
const). Здесь имеем следующую смешанную задачу
U
tt
= a
2
U
xx
, 0 < x < l, t > 0 (1
0
)
U(x, 0) = 0, U
t
(x, 0) = 0 (2
0
)
U(0, t) = 0, U(l, t) = A sin ωt. (3)
Ищем решение задачи в виде U = U
1
(x, t) + U
2
(x, t), причем в
данном случае потребуем от U
1
, чтобы она удовлетворяла (1
0
), (3) (см.
замечание 2). Будем искать U
1
в виде
88
∗∗
= 0
,
,
,
,
образом,
Замечание 3. Рассмотрим задачу со стационарными неоднород-
ностями

                    Utt = a2 Uxx + f (x), 0 < x < l, t > 0 ,                (1∗ )

                      U (x, 0) = ϕ(x), Ut (x, 0) = ψ(x) ,                    (2)

                 [αU + βUx ] |x=0 = σ1 , [γU + δUx ] |x=l = σ2 ,            (3∗ )
где σ1 , σ2 - const. Ее решение можно отыскивать в виде

                            U = U1 (x) + U2 (x, t),                           (4)
                               ∗    ∗
где U1 (x) удовлетворяет (1 ),(3 ), т.е. задаче
      a2 U100 + f = 0, αU1 (0) + βU10 (0) = σ1 , γU1 (l) + δU10 (l) = σ2 . Найдя
U1 и подставляя ее в (4), получаем для U2 известную задачу:
      U2tt = a2 U2xx , U2 (x, 0) = ϕ(x) − U1 (x, 0), U2t (x, 0) = ψ(x),
αU2 (0, t) + βU2x (0, t) = 0, γU2 (l, t) + δU2x (l, t) = 0.
Замечание 4. Если в (3∗ )α, γ = 0, то U ищут в виде U=U1 (x)+U2 (x, t),
где U1 = Ax2 +Bx, причем постоянные A, B подбирают таким образом,
чтобы U1 удовлетворяла (3∗ ). Тогда U2 удовлетворяет задаче
      U2tt = a2 U2xx + f (x) + 2Aa2 , U2 (x, 0) = ϕ(x) − U1 (x), U2t (x, 0) =
ψ(x),
      U2x (0, t) = 0, U2x (l, t) = 0.

                                З а д а ч и

      14.1. Uxx = Utt , 0 < x < l, U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 = 0, U |x=l = t.
      О т в е т:P
                     (−1)k 2l
      U = xtl + ∞              πkx   πkt
                  k=1 (πk)2 sin l sin l .

     14.2. Изучить вынужденные колебания струны, закрепленной на
конце x = 0 и подверженной на конце x = l действию возмущающей
гармонической силы, вызывающей смещение, равное A sin ωt(A, ω −
const). Здесь имеем следующую смешанную задачу

                        Utt = a2 Uxx , 0 < x < l, t > 0 ,                   (10 )

                          U (x, 0) = 0, Ut (x, 0) = 0 ,                     (20 )

                   U (0, t) = 0, U (l, t) = A sin ωt.               (3)
     Ищем решение задачи в виде U = U1 (x, t) + U2 (x, t), причем в
данном случае потребуем от U1 , чтобы она удовлетворяла (10 ), (3) (см.
замечание 2). Будем искать U1 в виде

                                       88

Страницы