Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

13.8. U
tt
= a
2
U
xx
+ f(x,
t), 0 <
x < l, U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U
x
|
x=0
=
U
x
|
x=l
= 0.
У к а з а н и е. Учесть собственное значение λ
0
= 0.
О т в е т:
U =
Z
t
0
f
0
(ξ)dξ +
l
aπ
∞
X
k=1
[
1
k
Z
t
0
f
k
(ξ)
sin
kaπ
l
(t − ξ)dξ]
cos
πk
l
x,
f
0
(ξ)
=
1
l
Z
l
0
f(x,
ξ)dx,
f
k
(ξ) =
2
l
Z
l
0
f(x,
ξ) cos
π
k
l
xdx,
k = 1
, 2, ....
З А Н Я Т И Е 14
Тема. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
(НЕОДНОРОДНОСТЬ В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ)
Рассмотрим смешанную задачу
U
tt
= a
2
U
xx
+ f(x, t), (x, t) ∈ Q
∞
, Q
∞
= (0, l) × (0, ∞) (1)
U(x, 0) = ϕ(x), U
t
(x, 0) = ψ(x) (2)
[αU + βU
x
] |
x=0
= σ
1
(t), [γU + δU
x
] |
x=l
= σ
2
(t), (3)
где α, β, γ, δ−const. Ищем решение задачи в виде суммы U = U
1
(x, t)+
U
2
(x, t), где U
1
∈ C
2
(
¯
Q
∞
) и удовлетворяет (3). Тогда для U
2
полу-
чаем задачу, рассмотренную на занятии 13: U
2tt
= a
2
U
xx
+ f
∗
(x, t),
U
2
(x, 0) = ϕ
∗
(x), U
2t
(x, 0) = ψ
∗
(x), αU
2
(0, t)+ βU
2x
(0, t) = 0, γU
2
(l, t)+
δU
2x
(l, t) = 0, где f
∗
= a
2
U
1xx
− U
1tt
+ f, ϕ
∗
= ϕ − U
1
(x, 0),
ψ
∗
= ψ −U
1t
(x, 0).
Замечание 1. Функцию U
1
(x, t) ищут обычно в виде U
1
=
A(t)x + B(t), где A(t), B(t) определяют таким образом, чтобы U
1
удо-
влетворяла (3). В частном случае, когда α, γ = 0, U
1
отыскивают в
виде U
1
= A(t)x
2
+ B(t)x.
Замечание 2. Если есть такая возможность, то от функции U
1
требуют, чтобы она удовлетворяла (3) и (1).
87
(t −ξ )
      13.8. Utt = a2 Uxx + f (x, t), 0 < x < l, U |t=0 = Ut |t=0 = 0, Ux |x=0 =
Ux |x=l = 0.
      У к а з а н и е. Учесть собственное значение λ0 = 0.
      О т в е т:

       Z                                  ∞     Z
           t
                         l X1                            t
                                                                          kaπ               πk
 U = (t − ξ ) f0(ξ)dξ +     [                                fk (ξ) sin       (t − ξ)dξ] cos x,
     0                  aπ    k                      0                     l                 l
                                          k=1
                Z       l                            Z       l
            1                                    2                              πk
   f0 (ξ) =                 f (x, ξ)dx, fk (ξ) =                 f (x, ξ) cos      xdx, k = 1, 2, ....
            l       0                            l       0                       l




                                        З А Н Я Т И Е 14

                Тема. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
           (НЕОДНОРОДНОСТЬ В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ)

      Рассмотрим смешанную задачу

           Utt = a2 Uxx + f (x, t), (x, t) ∈ Q∞ , Q∞ = (0, l) × (0, ∞)                               (1)

                                U (x, 0) = ϕ(x), Ut (x, 0) = ψ(x)                                    (2)

              [αU + βUx ] |x=0 = σ1 (t), [γU + δUx ] |x=l = σ2 (t),              (3)
где α, β, γ, δ−const. Ищем решение задачи в виде суммы U = U1 (x, t)+
U2 (x, t), где U1 ∈ C 2 (Q̄∞ ) и удовлетворяет (3). Тогда для U2 полу-
чаем задачу, рассмотренную на занятии 13: U2tt = a2 Uxx + f ∗ (x, t),
U2 (x, 0) = ϕ∗ (x), U2t (x, 0) = ψ ∗ (x), αU2 (0, t) + βU2x (0, t) = 0, γU2 (l, t) +
δU2x (l, t) = 0, где f ∗ = a2 U1xx − U1tt + f, ϕ∗ = ϕ − U1 (x, 0),
ψ ∗ = ψ − U1t (x, 0).
Замечание 1. Функцию U1 (x, t) ищут обычно в виде U1 =
A(t)x + B(t), где A(t), B(t) определяют таким образом, чтобы U1 удо-
влетворяла (3). В частном случае, когда α, γ = 0, U1 отыскивают в
виде U1 = A(t)x2 + B(t)x.
Замечание 2. Если есть такая возможность, то от функции U1
требуют, чтобы она удовлетворяла (3) и (1).


                                                 87

Страницы