Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(
µ
π
x,
3
t
π
+ 1)
U =
4
A
π
∞
X
k=0
1
(2k +
1)[
aπ(2k+1)
2
2
− 1]
[sin t −
2l
aπ(2k +
1)
sin
aπ(2k + 1)
2l
t]
sin
πx
(2k + 1)
2l
13.3. U
tt
= U
xx
+
2b,
b − const, 0 < x < l, U |
t=0
=
U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
= U |
x=l
= 0.
У к а з а н и е. Для решения задачи использовать замечание.
О т в е т:
U = bx(l − x) −
8l
2
b
π
3
P
∞
k
1
sin
l
cos
.
13.4. U
tt
+ U
t
= U
xx
+
1, 0 <
x < 1, U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
=
U |
x=1
= 0.
О т в е т:
U =
x(1−x)
2
−
P
∞
k=0
(cos µ
k
t +
1
2µ
k
sin µ
k
t)
e
−t/2
sin(2k +
1)
k
=
p
(2k +
1)
2
π
2
− 1/
4.
Д о м а ш н е е з а д а н и е
13.5.
U
tt
= a
2
U
xx
+ Ae
−t
cos
πx
2l
, 0 <
x <
l,
U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U
x
|
x=0
= U |
x=l
= 0.
О т в е т:
U =
A
1+(
aπ
2l
)
2
(e
−t
− cos
aπ
t
2l
+
2l
aπ
sin
aπ
t
2l
)
cos
πx
2l
.
13.6. U
tt
= U
xx
+
cos t, 0 < x
< π
U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
= U |
x=π
= 0.
О т в е т:
U =
2
π
t sin t sin x +
P
0
∞
k=3
4
π
k(1−
k
2
)
(cos t − cos kt) sin kx, где
"
0
"означает суммирование по нечетным k.
13.7. Тяжелый однородный стержень длиной l подвешен верти-
кально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В
момент t = 0 стержень освобождается. Изучить вынужденные колеба-
ния стержня (см.1.6).
О т в е т:
U =
gx l−x)
2a
2
−
g
l
2
π
3
a
2
P
∞
k=0
1
(2k+1)
3
cos
(2k+1)π
at
sin
(2k+1)π
x
.
86
=0
(2k
+
1)(2k
x
π
l
+
1)(2k
4
π
+
1)(2k
1
ll
4
            ∞
      4A X               1                         2l          aπ(2k + 1)        πx(2k + 1)
   U=                  aπ(2k+1)2
                                      [sin t −             sin            t] sin
       π                                       aπ(2k  + 1)         2l                2l
         k=0 (2k + 1)[     2     − 1]


      13.3. Utt = Uxx + 2b, b − const, 0 < x < l, U |t=0 =
Ut |t=0 = 0, U |x=0 = U |x=l = 0.
      У к а з а н и е. Для решения задачи использовать замечание.
      О т в е т:
                                        P∞       1           π (2k + 1) x
      U = bx(l − x) −           8l2 b
                                 π3      k =0 (2k + 1) sin        l
                                                                          cos π (2kl + 1) t   .
      13.4. Utt + Ut = Uxx + 1, 0 < x < 1, U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 =
U |x=1 = 0.
      О т в е т:
      U = x(1−x) − 4e−t/2 P∞         1                                 1
                                                                            sin µk t)sin(2k + 1)πx,
             2       π 3     k=0 (2k + 1)(cos µk t +                  2µk
      µ k =p
            (2k + 1)2 π 2 − 1/4.
                    Д о м а ш н е е                       з а д а н и е
      13.5.                                     πx
                         Utt = a2 Uxx + Ae−t cos   , 0 < x < l,
                                                2l
                    U |t=0 = Ut |t=0 = 0, Ux |x=0 = U |x=l = 0.

      О т в е т:
               A
      U=     1+( aπ )2 (e
                          −t
                               − cos aπt
                                      2l +
                                               2l
                                               aπ    sin aπt       πx
                                                          2l ) cos 2l .
                 2l


      13.6. Utt = Uxx + cos t, 0 < x < π
      U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 = U |x=π = 0.
      О т в е т:
                              P0 ∞
       U = π2 t sin t sin x +            4
                                 k=3 πk(1−k 2 ) (cos t − cos kt) sin kx, где
"0 "означает суммирование по нечетным k.
       13.7. Тяжелый однородный стержень длиной l подвешен верти-
кально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В
момент t = 0 стержень освобождается. Изучить вынужденные колеба-
ния стержня (см.1.6).
      О т в е т:
                                 2 P
      U=      gx( l−x)
                2a2      − π43gla2 ∞        1
                                     k=0 (2k+1)3 cos
                                                     (2k+1)πat
                                                               sin (2k+1)πx .
                                                        l             l

                                                    86

Страницы