Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

½
a
k
(t)
= −
l
π
ka
R
t
0
f
k
(τ) sin
aπkτ
l
dτ + α
k
,
b
k
(t)
=
l
π
ka
R
t
0
f
k
(
τ) cos
aπkτ
l
dτ + β
k
,
(9)
г
де α
k
, β
k
-
постоянные интегрирования. Учитывая (7), из (9) имеем
α
k
, β
k
= 0. Подставляя (9) в (8), получаем
¯
T
k
(t) =
l
π
ka
Z
t
0
sin[a
(t − τ)
kπ
l
]f
k
(τ)dτ
.
За
мечание. Рассмотрим задачу
U
tt
= a
2
U
xx
+ f(x), 0 < x < l, t > 0 (1
∗
)
U(x, 0) = ϕ)(x), U
t
(x, 0) = ψ(x) (2)
U(0, t) = 0, U(l, t) = 0, (3
0
)
в которой неоднородность в уравнении не зависит от t. Ее можно ре-
шить другим методом, а именно: ищем решение в виде U = U
1
(x) +
U
2
(x, t), где U
1
(x) удовлетворяет (1
∗
), (3
0
), т.е. задаче: U
00
1
+
1
a
2
f(x)
=
0,
U
1
(0) = U
1
(l) = 0 для обыкновенного дифференциального уравне-
ния. Найдя U
1
(x), получаем для U
2
задачу:
U
2tt
= a
2
U
xx
, U
2
(x, 0) = ϕ(x) − U
1
(x),
U
2t
(x, 0) = ψ(x), U
2
(0, t) = U
2
(l, t) = 0, метод решения которой
рассмотрен на занятии 10.
З а д а ч и
13.1.
U
tt
= a
2
U
xx
+ Ae
−t
sin
πx
l
, 0 <
x <
l,
U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
= U |
x=l
= 0.
О т в е т:
U =
A
1+(
aπ
l
)
2
(e
−t
− cos
aπ
l
t +
l
aπ
sin
aπ
l
t)
sin
πx
l
.
13.2. Р
ешить зада
чу о вынужденных колебаниях стержня дли-
ны l под действием внешней силы с объемной плотностью p(x, t) =
Aρ sin t (A, ρ − const) при условии, что конец x = 0 закреплен, а
конец x = l свободен. Начальные условия считать нулевыми (см. 1.3).
О т в е т:
85
,
,
                   ½               l
                                      Rt
                       ak (t) = − πka    fk (τ ) sin aπkτ
                                                       l dτ + αk ,
                                 l
                                   Rt  0
                                                   aπkτ                      (9)
                       bk (t) = πka 0 fk (τ ) cos l dτ + βk ,
где αk , βk - постоянные интегрирования. Учитывая (7), из (9) имеем
αk , βk = 0. Подставляя (9) в (8), получаем
                              Z t
                            l                  kπ
                 T̄k (t) =        sin[a(t − τ ) ]fk (τ )dτ.
                           πka 0                l
Замечание. Рассмотрим задачу

                       Utt = a2 Uxx + f (x), 0 < x < l, t > 0 ,             (1∗ )

                         U (x, 0) = ϕ)(x), Ut (x, 0) = ψ(x) ,                (2)

                              U (0, t) = 0, U (l, t) = 0,                   (30 )
в которой неоднородность в уравнении не зависит от t. Ее можно ре-
шить другим методом, а именно: ищем решение в виде U = U1 (x) +
U2 (x, t), где U1 (x) удовлетворяет (1∗ ), (3 0), т.е. задаче: U100 + a12 f (x) =
0, U1 (0) = U1 (l) = 0 для обыкновенного дифференциального уравне-
ния. Найдя U1 (x), получаем для U2 задачу:
       U2tt = a2 Uxx , U2 (x, 0) = ϕ(x) − U1 (x),
       U2t (x, 0) = ψ(x), U2 (0, t) = U2 (l, t) = 0, метод решения которой
рассмотрен на занятии 10.


                                   З а д а ч и

      13.1.
                                             πx
                       Utt = a2 Uxx + Ae−t sin   , 0 < x < l,
                                              l
                   U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 = U |x=l = 0.

      О т в е т:
              A
      U=           (e−t − cos aπl t +
                   2
                                         l
                                        aπ   sin aπl t) sin πx
                                                             l .
           1+( aπ
                l )
      13.2. Решить задачу о вынужденных колебаниях стержня дли-
ны l под действием внешней силы с объемной плотностью p(x, t) =
Aρ sin t    (A, ρ − const) при условии, что конец x = 0 закреплен, а
конец x = l свободен. Начальные условия считать нулевыми (см. 1.3).
      О т в е т:


                                          85

Страницы