Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

0
12.7. U
tt
+
2U
t
= U
xx
− U, 0 <
x < π, U |
t=0
= 0, U
t
|
t=0
=
x, U
x
|
x=0
= U |
x=π
= 0.
О т в е т:
U(x, t) = 8e
−t
P
∞
k=0
1
(2k+1)
2
[(−1)
k
−
2
π(2k+1)
]
sin
(2k+1)t
2
cos
(2k+1)x
2
.
З
А Н Я Т И Е 13
Тема. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
(МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ)
Задача о вынужденных колебаниях струны, закрепленной на
концах, под действием внешней силы с линейной плотностью F (x, t)
ставится на лекции и приводится к следующей смешанной задаче
U
tt
= a
2
U
xx
+ f(x, t), a
2
=
T
0
ρ
,
f =
F
ρ
, (x,
t) ∈ Q
∞
(1)
U(x, 0)
= ϕ(x), U
t
(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l (2)
U(0, t) = 0, U(l, t) = 0, t ≥ 0(ϕ(0) = 0, ϕ(l)) = 0 (3
0
)
Решение этой задачи представляется в виде суммы U = U
1
(x, t)+
U
2
(x, t), где U
1
- решение уравнения (1), уловлетворяющее (3
0
) и нуле-
вым начальным условиям (2
0
)(ϕ, ψ ≡ 0), т.е. U
1
описывает вынужден-
ные колебания струны, которые совершаются только под действием
внешней силы. U
2
есть решение соответствующего однородного урав-
нения (1 )(f = 0), удовлетворяющее (2),(3
0
), т.е. описывает свободные
колебания, происходящие только вследствие начального возмущения.
Решение задачи (1
0
), (2),(3
0
) известно (см. занятие 11), поэто-
му остановимся на задаче (1),(2
0
), (3
0
). Применим метод собственных
функций, т.е. ищем U
1
в виде ряда
U
1
=
∞
X
k=1
¯
T
k
(t) sin
πkx
l
, (4)
г
де X
k
(x
) = sin
πkx
l
-
собственные функции
задачи о собственных зна-
чениях:
X
00
= −λX, X(0) = X(l) = 0 (см.10.1), к которой приводится
решение соответствующего однородного уравнения (1
0
) при условиях
(3
0
).
83
.
,
,
      12.7. Utt + 2Ut = Uxx − U, 0 < x < π, U |t=0 = 0, Ut |t=0 =
x, Ux |x=0 = U |x=π = 0.
     О т в е т:
                       P∞                                         (2k+1)t
     U (x, t) = 8e−t           1
                        k=0 (2k+1)2 [(−1)
                                          k
                                                −      2
                                                    π(2k+1) ] sin    2      cos (2k+1)x
                                                                                   2    .




                             З А Н Я Т И Е 13

              Тема. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
              (МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ)

     Задача о вынужденных колебаниях струны, закрепленной на
концах, под действием внешней силы с линейной плотностью F (x, t)
ставится на лекции и приводится к следующей смешанной задаче
                                               T0      F
           Utt = a2 Uxx + f (x, t), a2 =          , f = , (x, t) ∈ Q∞ ,                 (1)
                                               ρ       ρ
               U (x, 0) = ϕ(x), Ut (x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l ,                           (2)

           U (0, t) = 0, U (l, t) = 0, t ≥ 0(ϕ(0) = 0, ϕ(l)) = 0 .                     (30 )
       Решение этой задачи представляется в виде суммы U = U1 (x, t)+
U2 (x, t), где U1 - решение уравнения (1), уловлетворяющее (30 ) и нуле-
вым начальным условиям (20 )(ϕ, ψ ≡ 0), т.е. U1 описывает вынужден-
ные колебания струны, которые совершаются только под действием
внешней силы. U2 есть решение соответствующего однородного урав-
нения (10 )(f = 0), удовлетворяющее (2),(30), т.е. описывает свободные
колебания, происходящие только вследствие начального возмущения.
       Решение задачи (10), (2),(30 ) известно (см. занятие 11), поэто-
му остановимся на задаче (1),(20), (30). Применим метод собственных
функций, т.е. ищем U1 в виде ряда
                                   ∞
                                   X                   πkx
                            U1 =         T̄k (t) sin       ,                            (4)
                                                        l
                                   k=1

где Xk (x) = sin πkx
                  l - собственные функции задачи о собственных зна-
чениях:
       X 00 = −λX, X(0) = X(l) = 0 (см.10.1), к которой приводится
решение соответствующего однородного уравнения (10) при условиях
(30 ).

                                          83

Страницы