Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

12.3. Один
конец
стержня x = 0 свободен, а другой x = l закреп-
лен упруго. Найти продольные колебания стержня при произвольных
начальных данных (см. 1.1 и 10.4).
О т в е т:
U =
P
∞
k=1
(a
k
cos a
√
λ
k
t + b
k
sin a
√
λ
k
t)
cos
√
λ
k
x, г
де λ
k
- к
орень
уравнения
ctg
√
λl =
√
λ
h
,
a
k
=
2(h
2
+ λ
k
)
l(h
2
+ λ
k
)
+ h
l
Z
0
ϕ(x
) cos
p
λ
k
xdx,
b
k
=
2(h
2
+ λ
k
)
a
√
λ
k
[l(h
2
+ λ
k
)
+ h]
Z
l
0
ψ(x
) cos
p
λ
k
xdx.
Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
12.4. U
tt
+2U
t
= U
xx
−U, 0 < x < π, U |
t=0
= πx −x
2
, U
t
=|
t=0
= 0,
U |
x=0
= U |
x=π
= 0.
О т в е т:
U = −
8e
−t
π
P
∞
k=0
1
(2k+1)
3
[cos(2k+
1)t+
1
2k+1
sin(2k+
1)t]
sin(2k+1)x.
12.5. Найти продольные колебания стержня в среде с сопротив-
лением, пропорциональным скорости, один конец которого x = 0 за-
креплен, а другой x = l свободен при начальных условиях U(x, 0) =
kx, U
t
|
t=0
= 0 (см. 1.4).
О т в е т:
U =
8kl
π
2
e
−ν
t
P
∞
k=0
(−
1)
k
(2k+1)
2
sin
(2k+1)π
x
2l
Θ
k
(t), г
де Θ
k
(t
) имеет такие
же значения, как в ответе к задаче 12.1.
12.6. Найти продольные колебания стержня с упруго закреплен-
ными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки,
если начальные условия произвольны (см. 10.8).
О т в е т:
U =
∞
P
k=1
(a
k
cos a
√
λ
k
t+b
k
sin a
√
λ
k
t)
sin(
√
λ
k
x+ϕ
k
), г
де λ
k
- к
орни
уравнения ctg
√
λl =
1
2
(
√
λ
h
−
h
√
λ
),
ϕ
k
= arctg
√
λ
k
h
,
a
k
=
2(λ
k
+h
2
)
(λ
k
+h
2
)l+2h
l
R
0
ϕ(x)
sin(
√
λ
k
x + ϕ
k
)dx,
b
k
=
2(λ
k
+h
2
)
a
√
λ
k
[(λ
k
+h
2
)l+2h]
R
l
0
ψ(x))
sin(
√
λ
k
x + ϕ
k
)dx.
82
     12.3. Один конец стержня x = 0 свободен, а другой x = l закреп-
лен упруго. Найти продольные колебания стержня при произвольных
начальных данных (см. 1.1 и 10.4).
     О т в е т:
          P              √                √           √
     U = ∞      (a
             k=1 k cos a  λk t + b k sin a  λk t) cos  λk x, где λk - корень
уравнения
                        √                          Zl
           √              λ          2(h2 + λk )              p
        ctg λl =            , ak =                    ϕ(x) cos λk xdx,
                         h         l(h2 + λk ) + h
                                                       0
                                              Z   l              p
                    2(h2 + λk )
            bk = √                                    ψ(x) cos       λk xdx.
                a λk [l(h2 + λk ) + h]        0


                   Д о м а ш н е е            з а д а н и е
      12.4. Utt + 2Ut = Uxx − U, 0 < x < π, U |t=0 = πx − x2 , Ut =|t=0 = 0,
U |x=0 = U |x=π = 0.
      О т в е т:
               −t   P∞
      U = − 8eπ                1                    1
                        k=0 (2k+1)3 [cos(2k +1)t+ 2k+1     sin(2k +1)t] sin(2k +1)x.

      12.5. Найти продольные колебания стержня в среде с сопротив-
лением, пропорциональным скорости, один конец которого x = 0 за-
креплен, а другой x = l свободен при начальных условиях U (x, 0) =
kx, Ut |t=0 = 0 (см. 1.4).
      О т в е т:
                    P∞ (−1)k         (2k+1)πx
     U = 8kl
           π2 e −νt
                     k=0 (2k+1)2 sin    2l    Θk (t), где Θk (t) имеет такие
же значения, как в ответе к задаче 12.1.
     12.6. Найти продольные колебания стержня с упруго закреплен-
ными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки,
если начальные условия произвольны (см. 10.8).
     О т в е т:
          P∞              √           √         √
     U=       (ak cos a λk t+bk sin a λk t) sin( λk x+ϕk ), где λk - корни
          k=1
               √            √                  √
уравнения ctg λl = 21 ( hλ − √hλ ), ϕk = arctg hλk ,
            2(λk +h2 ) R          √
                          l
     ak = (λk +h2 )l+2h ϕ(x) sin( λk x + ϕk )dx,
                         0
               2(λk +h2 )     Rl         √
     bk = a√λ [(λ +h2 )l+2h] 0 ψ(x)) sin( λk x + ϕk )dx.
              k     k




                                         82

Страницы