Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

З
А Н
Я Т И Е 12
Тема. КОЛЕБАНИЯ В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ.
УПРУГОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ КОНЦОВ
З а д а ч и
12.1. Исследовать свободные колебания струны, колеблющейся
в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени ско-
рости.
У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения
U
tt
= a
2
U
xx
− 2νU
t
, a
2
=
T
0
ρ
, 2ν =
k
ρ
при
условиях U |
t
=0
= ϕ(x), U
t
|
t=0
= ψ(x), U |
x=0
= U |
x=l
= 0. При ре-
шении задачи использовать замечание 2 занятия 11, причем уравнение
для T (t) будет иметь вид:
T ” + 2νT
0
+ a
2
λT = 0.
О т в е т:
U = e
−νt
P
∞
k=1
Θ
k
(t) sin
πkx
l
, г
де
Θ
k
(t
) =
a
k
chω
k
t + b
k
shω
k
t, ω
k
=
q
ν
2
− (
π
ka
l
)
2
,
π
ka
l
<
ν,
a
k
+ b
k
t,
π
ka
l
= ν
,
a
k
cos ω
k
t + b
k
sin ω
k
t, ω
k
=
q
(
π
ka
l
)
2
− ν
2
,
π
ka
l
>
ν,
a
k
= ϕ
k
,
b
k
=
ψ
k
ω
k
+
ν
k
ω
k
, причем
ϕ
k
=
2
l
Z
l
0
ϕ(x)
sin
πk
x
l
dx,
ψ
k
=
2
l
l
Z
0
ψ(x)
sin
πk
x
l
dx,
а ω
k
=
1, если ν =
π
ka
l
.
12.2. U
tt
= U
xx
−4U
, 0 < x
< 1, U |
t=0
= x
2
−x, U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
=
U |
x=1
= 0.
О т в е т:
U = −
8
π
3
P
∞
k=0
sin(2k+1)π
x
(2k+1)
3
cos
p
(2k +
1)
2
π
2
+ 4t.
81
ϕ
                     З А Н Я Т И Е 12
      Тема. КОЛЕБАНИЯ В СРЕДЕ С СОПРОТИВЛЕНИЕМ.
              УПРУГОЕ ЗАКРЕПЛЕНИЕ КОНЦОВ

                                          З а д а ч и

      12.1. Исследовать свободные колебания струны, колеблющейся
в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени ско-
рости.
     У к а з а н и е. Задача сводится к решению уравнения
                                                        T0        k
                     Utt = a2 Uxx − 2νUt , a2 =            , 2ν =
                                                        ρ         ρ
при условиях U |t=0 = ϕ(x), Ut |t=0 = ψ(x), U |x=0 = U |x=l = 0. При ре-
шении задачи использовать замечание 2 занятия 11, причем уравнение
для T (t) будет иметь вид:

                                  T ” + 2νT 0 + a2 λT = 0.

     О т в е т:
             P
     U = e−νt ∞              πkx
               k=1 Θk (t) sin l , где

                                          q
              
                                            2   πka 2 πka
               ak chωk t + bk shωk t, ωk = ν − ( l ) , l < ν,
     Θk (t) =   ak + bk t, πka
                            l
                               = ν,          q
              
              
               a cos ω t + b sin ω t, ω = (πka )2 − ν 2 , πka > ν,
                     k            k       k    k    k         l            l

                                  ν ϕk
     ak = ϕk , bk = ψωk +          ωk
                                      ,   причем
                      k


                 Z       l                               Zl
             2                        πkx          2                     πkx
        ϕk =                 ϕ(x) sin     dx, ψk =            ψ(x) sin       dx,
             l       0                 l           l                      l
                                                          0

а ωk = 1, если ν = πka .
                              l
      12.2. Utt = Uxx −4U, 0 < x < 1, U |t=0 = x2 −x, Ut |t=0 = 0, U |x=0 =
U |x=1 = 0.
     О т в е т:
               P
               ∞
                 sin(2k+1)πx     p
     U = − π83           3   cos  (2k + 1)2 π 2 + 4t.
               k=0            (2k+1)


                                               81

Страницы