Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U
t
(x, 0)
=
∞
X
k=1
b
k
πk
a
l
sin
π
k
l
x = ψ(x)
(18)
Таким
образом, мы пришли к задаче разложения заданных
функций ϕ и ψ в тригонометрические ряды по системе sin
πk
l
x в
ин-
тервале [0,
l]. Предполагая, что ϕ, ψ ∈ C
2
[0, l] удовлетворяет (17), по-
лучим, что (18), а значит (13), будет выполнено, если
a
k
= ϕ
k
, b
k
=
ψ
k
l
π
ka
, (19)
г
де
ϕ
k
=
2
l
Z
l
0
ϕ(x)
sin
πk
l
xdx,
ψ
k
=
2
l
Z
l
0
ψ(x)
sin
πk
l
xdx.
По
дставляя
(19) в (9), получаем формальное решение задачи
U =
∞
X
k=1
(ϕ
k
cos
πka
l
t +
ψ
k
l
π
ka
sin
π
ka
l
t)
sin
πk
l
x. (20)
Для
обоснования решения
(20) нужно доказать равномерную
сходимость (20) и рядов U
t
, U
tt
, U
x
, U
xx
. На основании известных ре-
зультатов из теории тригонометрических рядов можно получить, что
все вышеуказанные ряды сходятся, если ϕ ∈ C
2
[0, l], ψ ∈ C
1
[0, l], суще-
ствуют кусочно непрерывные ϕ
000
, ψ
00
, кроме того, выполняются усло-
вия
ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ
00
(0) = ϕ
00
(l) = ψ(0) = ψ(l) = 0.
В частном случае получаем U = A sin
πx
l
cos
at
l
.
11.2. Проинтегрировать
уравнение малых
продольных колеба-
ний цилиндрического стержня при условии, что один конец x = 0 за-
креплен, а другой x = l свободен, при начальных условиях U(x, 0) =
αx, U
t
(x, 0) = 0, α − const. (см. 1.1).
О т в е т:
U =
8αl
π
2
∞
X
k=0
(−1)
k
(2k +
1)
2
sin
(2k + 1)
πx
2l
cos
(2k +
1)π
at
2l
.
11.3. Р
ешить зада
чу о свободных колебаниях однородной квад-
ратной мембраны Ω = (0, p)×(0, p), закрепленной вдоль контура, если
U |
t=0
= A sin
πx
1
p
sin
π
x
2
p
,
U
t
|
t=0
= 0
У
к а з а н и е. Постановка задачи приводит к следующей сме-
шанной задаче относительно отклонения U(x
1
, x
2
, t) точки x = (x
1
, x
2
)
мембраны от положения равновесия в момент t
U
tt
= a
2
(U
x
1
x
1
+ U
x
2
x
2
), a
2
=
T
0
ρ
79
.
.
,
                                  ∞
                                  X          πka    πk
                  Ut (x, 0) =           bk       sin x = ψ(x).        (18)
                                              l      l
                                  k=1
     Таким образом, мы пришли к задаче разложения заданных
функций ϕ и ψ в тригонометрические ряды по системе sin πk     l
                                                                x в ин-
                                         2
тервале [0, l]. Предполагая, что ϕ, ψ ∈ C [0, l] удовлетворяет (17), по-
лучим, что (18), а значит (13), будет выполнено, если
                                       ψk l
                             ak = ϕk , bk = ,                 (19)
                                       πka
где            Z                          Z
              2 l           πk          2 l           πk
         ϕk =      ϕ(x) sin xdx, ψk =         ψ(x) sin xdx.
              l 0            l          l 0            l
      Подставляя (19) в (9), получаем формальное решение задачи
                  ∞
                  X               πka    ψk l     πka       πk
             U=         (ϕk cos       t+      sin     t) sin x.       (20)
                                   l     πka       l         l
                  k=1

      Для обоснования решения (20) нужно доказать равномерную
сходимость (20) и рядов Ut , Utt , Ux , Uxx . На основании известных ре-
зультатов из теории тригонометрических рядов можно получить, что
все вышеуказанные ряды сходятся, если ϕ ∈ C 2 [0, l], ψ ∈ C 1 [0, l], суще-
ствуют кусочно непрерывные ϕ000 , ψ 00 , кроме того, выполняются усло-
вия
              ϕ(0) = ϕ(l) = ϕ00 (0) = ϕ00 (l) = ψ(0) = ψ(l) = 0.
В частном случае получаем U = A sin πx             at
                                             l cos l .
      11.2. Проинтегрировать уравнение малых продольных колеба-
ний цилиндрического стержня при условии, что один конец x = 0 за-
креплен, а другой x = l свободен, при начальных условиях U (x, 0) =
αx, Ut (x, 0) = 0, α − const. (см. 1.1).
      О т в е т:

                   ∞
           8αl X (−1)k        (2k + 1)πx     (2k + 1)πat
         U= 2             sin            cos             .
           π    (2k + 1)2         2l              2l
                   k=0
     11.3. Решить задачу о свободных колебаниях однородной квад-
ратной мембраны Ω = (0, p)×(0, p), закрепленной вдоль контура, если
                               πx1      πx2
                U |t=0 = A sin      sin      , Ut |t=0 = 0 .
                                 p       p
     У к а з а н и е. Постановка задачи приводит к следующей сме-
шанной задаче относительно отклонения U (x1 , x2 , t) точки x = (x1 , x2 )
мембраны от положения равновесия в момент t
                                                     T0
                  Utt = a2 (Ux1 x1 + Ux2 x2 ), a2 =     ,
                                                     ρ
                                             79

Страницы