Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

По
дставляя
каждое λ
k
в (6), получаем уравнения для определения
T
k
, k = 1, 2, ...
T
00
k
+ λ
k
T
k
= 0 (6
k
)
Предположим, что все λ
k
> 0. Тогда общее решение уравнения (6
k
)
имеет вид: T
k
(t) = a
k
cos
√
λ
k
t + b
k
sin
√
λ
k
t, г
де a
k
, b
k
- произвольные
посто
янные. Итак, мы получили частные решения уравнения (1
0
), удо-
влетворяющие (3
0
) U
k
= T
k
X
k
= (a
k
cos
√
λ
k
t + b
k
sin
√
λ
k
t)X
k
(x),
k =
1, 2
, ...
2. С помощью полученных частных решений построим решение
задачи, удовлетворяющее (2). Возьмем общее решение задачи в виде
ряда
U =
∞
X
k=1
U
k
(x, t). (9)
Предположим, что (9) и все ряды, полученные из (9) двукратным диф-
ференцированием по t и x
i
(i = 1, n), сходятся равномерно, тогда (9)
удовлетворяет (1
0
), (3
0
) и будет законной подстановка (9) в (2)
U(x, 0) =
∞
X
k=1
a
k
X
k
(x) = ϕ(x),
(10)
U
t
(x, 0) =
∞
X
k=1
p
λ
k
b
k
X
k
(x)
= ψ(x
).
Из (10) видно, что мы пришли к задаче разложения ϕ и ψ в ряды Фу-
рье по системе {X
k
}
∞
1
. Предполагая, что ϕ и ψ удовлетворяют услови-
ям теоремы Стеклова, получаем, что (10), а значит (2) будет удовле-
творено тогда, когда
a
k
=
(ϕ, X
k
)
ρ
kX
k
k
2
ρ
= ϕ
k
,
b
k
=
(ψ
, X
k
)
ρ
√
λ
k
kX
k
k
2
ρ
=
ψ
k
√
λ
k
,
ψ
k
=
(ψ
, X
k
)
ρ
kX
k
k
2
ρ
(11)
По
дставляя
(11) в (9), получаем формальное решение задачи
U =
∞
X
k=1
(ϕ
k
cos
p
λ
k
t +
ψ
k
√
λ
k
sin
p
λ
k
t)X
k
(x),
для
обоснования к
оторого необходимо доказать сходимость вышеука-
занных рядов.
Замечание 1. Если λ
1
= λ
2
= ... = λ
q
= 0, тогда q уравнений
(6
k
)
примет вид: T
00
k
= 0, k = 1, q, решения которых T
k
= a
k
+ b
k
t.
Решение задачи в этом случае ищется в виде U =
q
P
k=1
(a
k
+ b
k
t)X
k
(x) +
∞
P
k=q+1
(a
k
cos
√
λ
k
t + b
k
sin
√
λ
k
t)X
k
(x).
77
.
.
Подставляя каждое λk в (6), получаем уравнения для определения
Tk , k = 1, 2, ...
                             Tk00 + λk Tk = 0 .                         (6k )
Предположим, что все λ√   k > 0. Тогда √  общее решение уравнения (6k )
имеет вид: Tk (t) = ak cos λk t + bk sin λk t, где ak , bk - произвольные
постоянные. Итак, мы получили частные√       решения уравнения
                                                          √      (10 ), удо-
влетворяющие (30 ) Uk = Tk Xk = (ak cos λk t + bk sin λk t)Xk (x), k =
1, 2, ...
        2. С помощью полученных частных решений построим решение
задачи, удовлетворяющее (2). Возьмем общее решение задачи в виде
ряда
                                  X∞
                            U=        Uk (x, t).                         (9)
                                           k=1
Предположим, что (9) и все ряды, полученные из (9) двукратным диф-
ференцированием по t и xi (i = 1, n), сходятся равномерно, тогда (9)
удовлетворяет (10 ), (30) и будет законной подстановка (9) в (2)
                                      ∞
                                      X
                        U (x, 0) =           ak Xk (x) = ϕ(x),
                                       k=1

                                                                         (10)
                                 ∞ p
                                 X
                     Ut (x, 0) =    λk bk Xk (x) = ψ(x).
                                     k=1
Из (10) видно, что мы пришли к задаче разложения ϕ и ψ в ряды Фу-
рье по системе {Xk }∞
                    1 . Предполагая, что ϕ и ψ удовлетворяют услови-
ям теоремы Стеклова, получаем, что (10), а значит (2) будет удовле-
творено тогда, когда
           (ϕ, Xk )ρ                (ψ, Xk )ρ     ψk           (ψ, Xk )ρ
  ak =               = ϕ   , b   = √            = √    , ψ   =            (11)
                                                                kXk k2ρ .
                         k     k                           k
            kXk k2ρ                  λk kXk k2ρ     λk
Подставляя (11) в (9), получаем формальное решение задачи
                     ∞
                     X               p            p
                                             ψk
                U=         (ϕk cos    λk t + √ sin λk t)Xk (x),
                     k=1
                                              λk
для обоснования которого необходимо доказать сходимость вышеука-
занных рядов.
Замечание 1. Если λ1 = λ2 = ... = λq = 0, тогда q уравнений (6k )
примет вид: Tk00 = 0, k = 1, q, решения которых Tk = ak + bk t.
                                               Pq
Решение задачи в этом случае ищется в виде U =    (ak + bk t)Xk (x) +
                                                                 k=1
 P
 ∞             √             √
        (ak cos λk t + bk sin λk t)Xk (x).
k=q+1

                                             77

Страницы