Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(cos=
sin
Найти собственные
значения и собственные функции, показать
ортогональность собственных функций.
У к а з а н и е
˙
Для определения λ получается уравнение
ctg
√
λl =
√
λ
h
, к
оторое приближ
енно можно решить графически. Для
более точного решения можно применять метод итерации.
О т в е т : λ
k
> 0 - корни уравнения ctg
√
λl =
√
λ
h
,
X
k
=
cos
√
λ
k
x,
k = 1, 2
, ....
Д о м а ш н е е з а д а н и е
10.5. X
00
= −λX, X
0
(0) = X
0
(l) = 0.
О т в е т : λ
k
= (
πk
l
)
2
,
X
k
= cos
π
k
l
x,
k = 0
, 1, 2....
10.6. X
00
= −λX, X(0) = X
0
(l) = 0.
О т в е т : λ
k
= (
π(2k+1)
2l
)
2
,
X
k
= sin
π(2k+1)
2l
x,
k = 0
, 1, 2....
10.7.
P
3
i=1
∂
2
X
∂
x
2
i
= −λX
,
∂X
∂
n
|
∂Ω
= 0
, Ω- параллелепипед с измере-
ниями p
i
(i = 1, 2, 3).
У к а з а н и е . Учесть, что направление нормалей к границам
параллелепипеда связано с направлением осей координат.
О т в е т : λ
k
1
k
2
k
3
= π
2
3
P
i=1
(
k
i
p
i
)
2
,
X
k
1
k
2
k
3
=
Q
3
i=1
cos(
π
k
i
p
i
x
i
),
k
1
, k
2
, k
3
= 1, 2....
10.8. X
00
= −λX, X
0
(0) − hX(0) = 0, X
0
(l) + hX(l) = 0, h > 0 –
const.
О т в е т : λ
k
> 0 - корни уравнения ctg
√
λl =
1
2
(
√
λ
h
−
h
√
λ
),
X
k
=
sin(ϕ
k
+
√
λ
k
x),
ϕ
k
= arctg
√
λ
k
h
,
k = 1
, 2, ...
10.9.
∂
2
X
∂
x
2
1
+
∂
2
X
∂
x
2
2
= −λX
, Ω = (0, l) × (0, h), X|
x
1
=0
= X|
x
1
=l
= 0,
X − α
∂X
∂
x
2
|
x
2
=0
= X|
x
2
=h
=
0, α − const.
О т в е т : λ
k
1
k
2
= (
πk
1
l
)
2
+
(
ω
k
2
h
)
2
,
X
k
1
k
2
π
k
1
x
1
ω
k
2
h
x
2
+
h
ω
k
2
α
sin
ω
k
2
h
x
2
),
k
1
, k
2
=
1, 2.... где
w
k
2
- корни уравнения tgw = −
αw
h
75
l
     Найти собственные значения и собственные функции, показать
ортогональность собственных функций.
   √ У к √аλ з а н и е Д̇ля определения λ получается уравнение
ctg λl = h , которое приближенно можно решить графически. Для
более точного решения можно применять метод итерации. √      √
                                                               λ
   √ О  т  в е  т   :    λk > 0 - корни уравнения ctg   λl =  h , Xk =
cos λk x, k = 1, 2, ....


                       Д о м а ш н е е з а д а н и е

         10.5. X 00 = −λX,        X 0 (0) = X 0 (l) = 0.
         О т в е т : λk = ( πkl )2 , Xk = cos πkl x, k = 0, 1, 2....
         10.6. X 00 = −λX, X(0) = X 0 (l) = 0.

     О т в е т : λk = ( π(2k+1)
                           2l   )2 , Xk = sin π(2k+1)
                                                 2l   x, k = 0, 1, 2....
            P
     10.7. 3i=1 ∂∂xX2 = −λX, ∂X
                    2

                      i       ∂n |∂Ω = 0, Ω- параллелепипед с измере-
ниями pi (i = 1, 2, 3).
     У к а з а н и е . Учесть, что направление нормалей к границам
параллелепипеда связано с направлением осей координат.
                                          P
                                          3
         О т в е т : λk1 k2 k3 = π    2
                                         ( kpii )2 ,
                                     i=1
                    Q3        πki
         Xk1 k2 k3 = i=1 cos( pi xi ), k1 , k2 , k3 = 1, 2....

         10.8. X 00 = −λX, X 0 (0) − hX(0) = 0, X 0 (l) + hX(l) = 0, h > 0 –
const.
                                                                 √        1
                                                                            √
                                                                              λ
     О т в е т : λk > 0 - корни уравнения ctg λl =                                     √h ),
                                                                          2( h     −     λ
             √                 √
Xk = sin(ϕk + λk x), ϕk = arctg hλk , k = 1, 2, ...
         10.9.
       ∂ 2X ∂ 2X
            +      = −λX, Ω = (0, l) × (0, h), X|x1 =0 = X|x1 =l = 0,
       ∂x21   ∂x22
               ∂X
         X − α ∂x 2
                    |x2 =0 = X|x2 =h = 0, α − const.
                                               ω
        О т в е т : λk1 k2 = ( πkl 1 )2 + ( hk2 )2 ,
                                 ω                   ω
        Xk1 k2 = sin πk1 x1 (cos hk2 x2 + ωkh α sin hk2 x2 ), k1 , k2 = 1, 2....        где
                      l                       2
wk2   - корни уравнения tgw = − αw      h



                                              75

Страницы