Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∞
Уравнение
(1 )
и условие (2 ) принимают вид:
-линейно независимые решения (3 ), то-
4. Максимальную систему собственных функций {X
k
}
∞
1
всегда
можно выбрать ортогональной с весом ρ(x) по области Ω.
5. Теорема Стеклова. Всякая функция F (x) ∈ C
2
(
¯
Ω), удовлетво-
ряющая (2), разлагается в регулярно сходящийся ряд по максимальной
системе собственных функций задачи (1 ), (2 )
F (x) =
X
k=1
(F, X
k
)
ρ
kX
k
k
2
ρ
X
k
(x),
x ∈
Ω.
Пу
сть n = 1 (зада
ча Штурма-Лиувилля). Тогда Ω = (0, l), ∂Ω =
{x = 0, x = l}.
−
d
dx
(p(x)
dX
dx
)
+ q(x
)X = λρ(x)X (3 )
α
0
X(0) − β
0
X
0
(0) = 0, α
l
X(l) + β
l
X
0
(l) = 0, (4 )
где α
0
, β
0
, α
l
, β
l
− const.
Пусть X
1
(x, λ) и X
2
(x, λ)
гда функция
X(x, λ) = C
1
X
1
(x, λ) + C
2
X
2
(x, λ) (5)
дает общее решение (3 ). ОпределимC
i
(i = 1, 2) и λ так, чтобы (5)
удовлетворяла (4 ). Подставляя (5) в (4 ), имеем
C
1
[α
0
X
1
(0, λ) − β
0
X
0
1
(0, λ)] + C
2
[α
0
X
2
(0, λ) − β
0
X
0
2
(0, λ)] = 0
C
1
[α
l
X
1
(l, λ) + β
l
X
0
1
(l, λ)] + C
2
[α
l
X
2
(l, λ) + β
l
X
0
2
(l, λ)] = 0.
(6)
Рассматриваем (6) как систему относительно C
i
. (6) имеет реше-
ние лишь тогда, когда ее определитель
∆(λ) =
¯
¯
¯
¯
α
0
X
1
(0, λ) − β
0
X
0
1
(0, λ) α
0
X
2
(0, λ) − β
0
X
0
2
(0, λ)
α
l
X
1
(l, λ) + β
l
X
0
1
(l, λ) α
l
X
2
(l, λ) + β
l
X
0
2
(l, λ)
¯
¯
¯
¯
= 0 (7)
(7) дает уравнение для определения тех λ, при которых (6) имеет нену-
левое решение, т.е. собственные значения. Подставляя найденные зна-
чения λ = λ
k
, k = 1, 2... в (6), получаем решение C
i
, причем одно из
C
i
остается произвольным, так как ранг системы равен 1, то есть фун-
даментальная система состоит из одного решения, и любое ненулевое
решение образует фундаментальную систему. В этом случае любые
два решения различаются между собой лишь числовым множителем.
Выбирая одно из C
i
равным 1, получаем другое C
i
. Подставляя C
i
в
(5), будем иметь собственные функции.
В случае n > 1 решение задачи можно получить методом разде-
ления переменных, если оператор L допускает разделение переменных.
73
0
0
0 0
0
0
0
0
0
0
     4. Максимальную систему собственных функций {Xk }∞      1 всегда
можно выбрать ортогональной с весом ρ(x) по области Ω.
     5. Теорема Стеклова. Всякая функция F (x) ∈ C 2 (Ω̄), удовлетво-
ряющая (2), разлагается в регулярно сходящийся ряд по максимальной
системе собственных функций задачи (10 ), (20 )
                              X
                              ∞
                                (F, Xk )ρ
                    F (x) =                   Xk (x), x ∈ Ω.
                                    kXk k2ρ
                              k=1
     Пусть n = 1 (задача Штурма-Лиувилля). Тогда Ω = (0, l), ∂Ω =
{x = 0, x = l}. Уравнение (10 ) и условие (20) принимают вид:
                         d       dX
                    −      (p(x)    ) + q(x)X = λρ(x)X                          (30 )
                        dx       dx

              α0 X(0) − β0 X 0 (0) = 0, αl X(l) + βl X 0 (l) = 0,               (40 )
где α0 , β0 , αl , βl − const.
     Пусть X1 (x, λ) и X2 (x, λ)-линейно независимые решения (30 ), то-
гда функция

                    X(x, λ) = C1 X1 (x, λ) + C2 X2 (x, λ)                       (5)
дает общее решение (3 0). Определим Ci (i = 1, 2) и λ так, чтобы (5)
удовлетворяла (40). Подставляя (5) в (40 ), имеем
    C1 [α0 X1 (0, λ) − β0 X10 (0, λ)] + C2 [α0 X2 (0, λ) − β0 X20 (0, λ)] = 0
                                                                                 (6)
      C1 [αl X1 (l, λ) + βl X10 (l, λ)] + C2 [αl X2 (l, λ) + βl X20 (l, λ)] = 0.
     Рассматриваем (6) как систему относительно Ci . (6) имеет реше-
ние лишь тогда, когда ее определитель
           ¯                                                             ¯
           ¯ α X (0, λ) − β0 X 0 (0, λ) α0 X2 (0, λ) − β0 X 0 (0, λ)     ¯
   ∆(λ) = ¯¯ 0 1                 1                            2          ¯ = 0 (7)
                                                                         ¯
             αl X1 (l, λ) + βl X10 (l, λ) αl X2 (l, λ) + βl X20 (l, λ)

(7) дает уравнение для определения тех λ, при которых (6) имеет нену-
левое решение, т.е. собственные значения. Подставляя найденные зна-
чения λ = λk , k = 1, 2... в (6), получаем решение Ci , причем одно из
Ci остается произвольным, так как ранг системы равен 1, то есть фун-
даментальная система состоит из одного решения, и любое ненулевое
решение образует фундаментальную систему. В этом случае любые
два решения различаются между собой лишь числовым множителем.
Выбирая одно из Ci равным 1, получаем другое Ci . Подставляя Ci в
(5), будем иметь собственные функции.
      В случае n > 1 решение задачи можно получить методом разде-
ления переменных, если оператор L допускает разделение переменных.

                                       73

Страницы