Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(x,
t) =
2h(1 − x/l), (x, t) ∈ III, III :
½
l/ 2 ≤ x + at ≤ l,
l/ 2 ≤ x − at ≤ l.
9.10. Записать решение уравнения (1
0
) с начальными условиями
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = cos
πx
l
,
0 <
x
<
l.
и с граничными условиями (12
0
) для областей I − V I (рис. 10).
О т в е т:
U(x, t) =
l
π
a
cos
πx
l
sin
π
at
l
для
каждой
из областей I − V I.
З А Н Я Т И Е 10
Тема. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Пусть область Ω ∈ R
n
, ∂Ω ее граница. Требуется найти такие
значения λ (собственные значения), при которых уравнение
LX ≡ −
n
X
i=1
∂
∂
x
i
(p
(x)
∂X
∂
x
i
) + q(
x)X = λρ(x)X
(1 )
имеет ненулевые решения X(x) ∈ C
2
(
Ω) (собственные
функции), у
до-
влетворяющие граничному условию
[α(x)X + β(x)
∂X
∂
n
]|
∂Ω
(2 )
и
найти эти решения. Здесь ~n – внешняя нормаль к ∂Ω, p, q, ρ, α, β –
заданные функции, ρ, p > 0, q ≥ 0.
Для этой задачи имеют место следующие теоремы.
1. Собственные значения задачи вещественны и неотрицательны.
2. Собственные функции, соответствующие различным собствен-
ным значениям, ортогональны с весом ρ(x) по области Ω, т.е.
(X
k
, X
j
)
ρ
=
Z
Ω
ρX
k
X
j
dx = 0, k 6= j.
3. Множество собственных значений задачи счетно и не имеет
конечных предельных точек. Каждое собственное значение имеет ко-
нечную кратность.
72
0
0
0
=
,
                                                      ½
                                                          l/2 ≤ x + at ≤ l,
      U (x, t) = 2h(1 − x/l), (x, t) ∈ III,   III :
                                                          l/2 ≤ x − at ≤ l.


      9.10. Записать решение уравнения (10 ) с начальными условиями
                  ½
                    U (x, 0) = 0,
                    Ut (x, 0) = cos πx   0 < x < l.
                                     l ,
и с граничными условиями (120 ) для областей I − V I (рис. 10).
      О т в е т:
                               l     πx     πat
                                 cos
                        U (x, t) =      sin
                              πa      l      l
для каждой из областей I − V I.



                     З А Н Я Т И Е 10
        Тема. ЗАДАЧА НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
     Пусть область Ω ∈ Rn , ∂Ω ее граница. Требуется найти такие
значения λ (собственные значения), при которых уравнение
                    Xn
                         ∂         ∂X
             LX ≡ −          (p(x)      ) + q(x)X = λρ(x)X,                   (1 0)
                    i=1
                        ∂x i       ∂x i

имеет ненулевые решения X(x) ∈ C 2 (Ω) (собственные функции), удо-
влетворяющие граничному условию
                                     ∂X
                           [α(x)X + β(x) ]|∂Ω = 0                 (2 0)
                                      ∂n
и найти эти решения. Здесь ~n – внешняя нормаль к ∂Ω, p, q, ρ, α, β –
заданные функции, ρ, p > 0, q ≥ 0.
     Для этой задачи имеют место следующие теоремы.
     1. Собственные значения задачи вещественны и неотрицательны.
     2. Собственные функции, соответствующие различным собствен-
ным значениям, ортогональны с весом ρ(x) по области Ω, т.е.
                              Z
                 (Xk , Xj )ρ = ρXk Xj dx = 0, k 6= j.
                                  Ω
     3. Множество собственных значений задачи счетно и не имеет
конечных предельных точек. Каждое собственное значение имеет ко-
нечную кратность.

                                       72

Страницы