Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

−
Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
9.8. Решить задачу о малых поперечных колебаниях струны,
один конец которой x = 0 свободен, а конец x = l закреплен жест-
ко, то есть решить уравнение (1
0
) для областей I V I (см.Рис. 10) с
условиями (2) и граничными условиями
½
U
x
(0, t) = 0,
U(l, t) = 0,
t > 0.
О т в е т:
U(x,
t)
= [ϕ(x −at) + ϕ(x + at)]/2 +
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(α)dα
,
0 < x
< l, t > 0,
(x, t) ∈ I.
U(x, t) = [ϕ(x − at) − ϕ(2l − x −at)]/2 +
1
2a
Z
2l−x−at
x−at
ψ(α)dα
, (x,
t) ∈ II.
U(x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(−x + at)]/2 +
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα +
+
1
2a
Z
x+at
x
0
ψ(α)dα + C
1
, (x,
t) ∈ II
I.
U(x, t) = [ϕ(−x + at) − ϕ(2l − x −at)]/2 +
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα +
+
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα + C
1
, (x,
t) ∈ IV
.
U(x, t) = −[ϕ(2l + x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 +
1
2a
Z
2l+x−at
x
0
ψ(α)dα +
+
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα + C
1
, (x,
t) ∈ V.
U(x,
t) = [ϕ(−x + at) − ϕ(−2l + x + at)]/2 +
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα −
−
1
2a
Z
−2l+x+at
x
0
ψ(α)dα
, (x,
t) ∈ V I.
9.9. Записать
решение уравнения
для областей I−V III (Рис. 16)
70
                  Д о м а ш н е е               з а д а н и е
      9.8. Решить задачу о малых поперечных колебаниях струны,
один конец которой x = 0 свободен, а конец x = l закреплен жест-
ко, то есть решить уравнение (10 ) для областей I − V I (см.Рис. 10) с
условиями (2) и граничными условиями
                      ½
                        Ux (0, t) = 0,
                        U (l, t) = 0,   t > 0.

     О т в е т:                                 Z   x+at
                                        1                            0 < x < l, t > 0,
U (x, t) = [ϕ(x − at) + ϕ(x + at)]/2 +                     ψ(α)dα,
                                       2a        x−at                  (x, t) ∈ I.
                                                            Z   2l−x−at
                                                1
   U (x, t) = [ϕ(x − at) − ϕ(2l − x − at)]/2 +                            ψ(α)dα, (x, t) ∈ II.
                                               2a            x−at

                                                          Z −x+at
                                                       1
           U (x, t) = [ϕ(x + at) + ϕ(−x + at)]/2 +                ψ(α)dα+
                                                      2a x0
                              Z x+at
                           1
                        +            ψ(α)dα + C1 , (x, t) ∈ III.
                          2a x0
                                                             Z −x+at
                                                          1
        U (x, t) = [ϕ(−x + at) − ϕ(2l − x − at)]/2 +                 ψ(α)dα+
                                                         2a x0
                             Z 2l−x−at
                          1
                       +               ψ(α)dα + C1 , (x, t) ∈ IV.
                         2a x0
                                                              Z 2l+x−at
                                                            1
     U (x, t) = −[ϕ(2l + x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 +                  ψ(α)dα+
                                                           2a x0
                             Z   2l−x−at
                         1
                      +                    ψ(α)dα + C1 , (x, t) ∈ V.
                        2a   x0
                                                          Z −x+at
                                                        1
       U (x, t) = [ϕ(−x + at) − ϕ(−2l + x + at)]/2 +              ψ(α)dα−
                                                       2a x0
                            Z −2l+x+at
                          1
                       −               ψ(α)dα, (x, t) ∈ V I.
                         2a x0

     9.9. Записать решение уравнения для областей I−V III (Рис. 16)




                                           70

Страницы