Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(Рис. 10)
[
и
с граничными
условиями (3 ) для областей
U(x, t) =
4h(−2xat + xl)
l
2
, (x,
t) ∈ II
I.
U(x, t) =
4h[x
2
+ (at)
2
+ l
2
− lx − 2lat]
l
2
, (x,
t) ∈ IV
.
U(x, t) =
4h
l
2
(
x
l
− 3 ), (x,
t) ∈ V.
U(x, t) =
4h
l
2
(
x
at
l
2
−
2
−
3
, (x,
t) ∈ V I
.
9.6. Записать решение уравнения (1
0
)с начальными условиями
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = sin
πx
l
,
и
с граничными
условиями (3
0
) для областей I −V I
О т в е т:
U(x, t) =
l
π
a
sin
πx
l
sin
π
at
l
.
в
каждой
из областей I −V I.
9.7. Записать решение уравнения (1) с начальными условиями
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = sin
πx
2l
,
I −V
I.
Р
е ш е н и е. Пусть (x, t) ∈ I. Тогда на основании (4)
U(x, t) =
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ(α)dα =
1
2a
Z
x+at
x−at
sin
π
α
2l
dα =
=
2l
2π
a
(−cos
π
α
2l
) |
x+at
x−at
=
l
π
a
(−cos
π(
x + at)
2l
+
cos
π(x − at
)
2l
)
=
=
2l
π
a
sin
πx
2l
sin
π
at
2l
.
О
т в
е т:
U(x, t) =
2l
π
a
sin
πx
2l
sin
π
at
2l
, (x,
t) ∈ II −V
I.
Замечание. Отметим, что решение можно было получить сразу по
формуле (4), так как функция sin
πx
2l
обладает
всеми нужными
свой-
ствами (она нечетная относительно x = 0, периодическая с периодом
4l, ϕ
1
(x) = sin
πx
2l
на
всей действительной
оси).
69
0
2xat
x
l
3
)]
+
l
                                4h(−2xat + xl)
                   U (x, t) =                  , (x, t) ∈ III.
                                     l2

                     4h[x2 + (at)2 + l2 − lx − 2lat]
          U (x, t) =                                 , (x, t) ∈ IV.
                                   l2
                         4h
           U (x, t) =       ( 2xat − 3l x), (x, t) ∈ V.
                         l2

                 4h
       U (x, t) =     [ 3l x − 3l2 + 2 at ( l − x )] , (x, t) ∈ V I.
                  l 2

      9.6. Записать решение уравнения (10 )с начальными условиями
                             ½
                                U (x, 0) = 0,
                                Ut (x, 0) = sin πx ,
                                                 l
и с граничными условиями (30 ) для областей I − V I (Рис. 10)
      О т в е т:
                                  l     πx        πat
                     U (x, t) =     sin     sin       .
                                 πa      l         l
в каждой из областей I − V I.
      9.7. Записать решение уравнения (1) с начальными условиями
                         ½
                            U (x, 0) = 0,
                            Ut (x, 0) = sin πx
                                             2l ,
и с граничными условиями (30 ) для областей I − V I.
      Р е ш е н и е. Пусть (x, t) ∈ I. Тогда на основании (4)
               Z x+at                  Z x+at
            1                       1             πα
U (x, t) =            ψ(α)dα =                sin    dα =
           2a x−at                 2a x−at        2l
            2l         πα x+at         l         π(x + at)       π(x − at)
         =      (− cos     ) |x−at =     (− cos            + cos           )=
           2πa          2l            πa             2l             2l
           2l      πx      πat
         =     sin    sin      .
           πa      2l       2l

      О т в е т:
                           2l     πx     πat
             U (x, t) =       sin    sin     , (x, t) ∈ II − V I.
                           πa     2l      2l

Замечание. Отметим, что решение можно было получить сразу по
формуле (4), так как функция sin πx   2l обладает всеми нужными свой-
ствами (она нечетная относительно x = 0, периодическая с периодом
4l, ϕ1 (x) = sin πx
                 2l на всей действительной оси).

                                        69

Страницы