Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
[ϕ
(x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα −
1
2a
Z
x−at
x
0
ψ(α)dα − C
1
,
(15)
г
де C
1
= 2C.
Пусть точка (x, t) лежит в области III (рис.11). Тогда
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at) = −U
2
(−(x − at)) + U
2
(x + at) =
= −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) + ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at) =
= +[ϕ(x + at) − ϕ(−x + at)]/2 −
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα − C +
+
1
2a
Z
x+at
x
0
ψ(α)dα + C =
[ϕ(
x + at) − ϕ(−x + at)]/2 +
+
1
2a
Z
x+at
−x+at
ψ(α)dα
.
Для точек,
лежащих в областях IV, V, V I соответственно имеем
U(x, t) = [−ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα −
−
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα − C
, (x,
t) ∈ IV
U(x, t) = [−ϕ (2l + x − at) +
+ϕ(2l −x − at)]/2 −
1
2a
Z
2l−x−at
2l+x−at
ψ(α)dα
, (x,
t) ∈ V
U(x, t) = −[ϕ(−x + at) + ϕ(x + at − 2l)]/2 −
−
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα −
1
2a
Z
x+at−2l
x
0
ψ(α)dα − C
, (x,
t) ∈ V I.
9.4. Записать решение задачи (1
0
), (2), (3
0
) для областей I −V I
при условии, что начальные отклонения заданы, а начальные скорости
отсутствуют:
ϕ(x) = sin(πx/l), ψ(x) = 0.
О т в е т:
U(x, t) = sin
πx
l
cos
π
at
l
, (x,
t) ∈ I − V I
.
Замечание. В данном случае ϕ(x) = sin
πx
l
Эта
функция явля-
ется нечетной относительно x = 0(ϕ(−x) = sin(−πx/l) = −sin
=
67
−
πx
l
.
                     = [ϕ(x − at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
                    Z 2l−x−at              Z x−at                   (15)
                  1                      1
               −              ψ(α)dα −            ψ(α)dα − C1 ,
                 2a x0                  2a x0
где C1 = 2C. Пусть точка (x, t) лежит в области III (рис.11). Тогда

U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = −U2 (−(x − at)) + U2 (x + at) =
         = −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) + ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at) =
                                               Z −x+at
                                             1
         = +[ϕ(x + at) − ϕ(−x + at)]/2 −               ψ(α)dα − C +
                                            2a x0
               Z x+at
            1
         +            ψ(α)dα + C = [ϕ(x + at) − ϕ(−x + at)]/2 +
           2a x0
               Z x+at
            1
         +            ψ(α)dα.
           2a −x+at
      Для точек, лежащих в областях IV, V, V I соответственно имеем
                                                 Z −x+at
                                               1
U (x, t) = [−ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −            ψ(α)dα −
                                              2a x0
                                  Z 2l−x−at
                                1
                             −              ψ(α)dα − C, (x, t) ∈ IV
                               2a x0

                              U (x, t) = [−ϕ(2l + x − at) +
                                Z 2l−x−at
                              1
        +ϕ(2l − x − at)]/2 −              ψ(α)dα, (x, t) ∈ V
                             2a 2l+x−at

                U (x, t) = −[ϕ(−x + at) + ϕ(x + at − 2l)]/2 −
         Z−x+at               Z x+at−2l
       1                    1
    −           ψ(α)dα −                ψ(α)dα − C, (x, t) ∈ V I.
      2a x0                2a x0
     9.4. Записать решение задачи (10 ), (2), (30 ) для областей I − V I
при условии, что начальные отклонения заданы, а начальные скорости
отсутствуют:
                    ϕ(x) = sin(πx/l),        ψ(x) = 0.
     О т в е т:
                            πx     πat
             U (x, t) = sin    cos     , (x, t) ∈ I − V I.
                             l      l
     Замечание. В данном случае ϕ(x) = sin πx . Эта функция явля-
                                                     l
                                                                   πx
ется нечетной относительно x = 0(ϕ(−x) = sin(−πx/l) = − sin l =

                                   67

Страницы