Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

,
U(x,
t) =
[ϕ(−x + at) + ϕ(−2l + x + at)]/2 +
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα +
+
1
2a
Z
−2l+x+at
x
0
ψ(α)dα + C
1
, (x,
t) ∈ V I
,
9.3. Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях стру-
ны, один конец x = 0 которой закреплен жестко, а конец x = l сво-
боден. Задача сводится к решению уравнения (1 ) с условиями (2) и
граничными условиями
½
U(0, t) = 0,
U
x
(l, t) = 0,
t > 0. (14
0
)
На основании предыдущего имеем, что в этом случае мы должны
продолжить начальные данные относительно x = 0 нечетным образом,
а относительно x = l - четным образом, то есть функции ϕ
1
(x) и ψ
1
(x)
должны удовлетворять условиям:
ϕ
1
(−x) = −ϕ
1
(x), ϕ
1
(x) = ϕ
1
(2l − x)
ψ
1
(−x) = −ψ
1
(x), ψ
1
(x) = ψ
1
(2l − x).
Отсюда для ϕ
1
(x) имеем
ϕ
1
(x + 4l) = ϕ
1
(2l − (x + 4l)) = ϕ
1
(−x − 2l) = −ϕ
1
(x + 2l).
Но ϕ
1
(x + 2l) = ϕ
1
(2l − (x + 2l)) = ϕ
1
(−x), то есть ϕ
1
(x + 4l) =
−ϕ
1
(x + 2l) = −ϕ
1
(−x) = ϕ
1
(x).
Значит, функция ϕ
1
(x) будет периодической с периодом 4l. Ана-
логично получается и для функции ψ
1
(x). Таким образом, чтобы ре-
шить задачу, необходимо продолжить функции ϕ(x) и ψ(x) нечетным
образом относительно начала координат, полученные функции про-
должить четным образом относительно x = l. Затем эти функции
продолжить периодически с периодом 4l на всю действительную ось.
Из вышесказанного следует, что концы x = 0 и x = l оказывают следу-
ющее влияние на колебание струны: от конца x = 0 волна отражается
с изменением направления и знака на обратный, а от конца x = l волна
отражается без изменения знака, так как в силу граничных условий
имеем U
1
(−x) = −U
2
(x), U
2
(l+x) = U
1
(l−x). Пусть точка (x, t) лежит
в области II (рис. 10). Тогда
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at) = U
1
(x − at) + U
1
(2l − x − at) =
66
0
                                                        Z   −x+at
                                                   1
 U (x, t) = [ϕ(−x + at) + ϕ(−2l + x + at)]/2 +                      ψ(α)dα +
                                                  2a    x0
               Z −2l+x+at
             1
          +               ψ(α)dα + C1 , (x, t) ∈ V I,
            2a x0


     9.3. Рассмотрим задачу о малых поперечных колебаниях стру-
ны, один конец x = 0 которой закреплен жестко, а конец x = l сво-
боден. Задача сводится к решению уравнения (1 0) с условиями (2) и
граничными условиями
                      ½
                        U (0, t) = 0,
                        U (l, t) = 0, t > 0.                 (140 )
                            x

     На основании предыдущего имеем, что в этом случае мы должны
продолжить начальные данные относительно x = 0 нечетным образом,
а относительно x = l - четным образом, то есть функции ϕ1 (x) и ψ1 (x)
должны удовлетворять условиям:

                 ϕ1 (−x) = −ϕ1 (x), ϕ1 (x) = ϕ1 (2l − x),

                 ψ1 (−x) = −ψ1 (x), ψ1 (x) = ψ1 (2l − x).
Отсюда для ϕ1 (x) имеем

     ϕ1 (x + 4l) = ϕ1 (2l − (x + 4l)) = ϕ1 (−x − 2l) = −ϕ1 (x + 2l).
Но ϕ1 (x + 2l) = ϕ1 (2l − (x + 2l)) = ϕ1 (−x), то есть ϕ1 (x + 4l) =
−ϕ1 (x + 2l) = −ϕ1 (−x) = ϕ1 (x).
     Значит, функция ϕ1 (x) будет периодической с периодом 4l. Ана-
логично получается и для функции ψ1 (x). Таким образом, чтобы ре-
шить задачу, необходимо продолжить функции ϕ(x) и ψ(x) нечетным
образом относительно начала координат, полученные функции про-
должить четным образом относительно x = l. Затем эти функции
продолжить периодически с периодом 4l на всю действительную ось.
Из вышесказанного следует, что концы x = 0 и x = l оказывают следу-
ющее влияние на колебание струны: от конца x = 0 волна отражается
с изменением направления и знака на обратный, а от конца x = l волна
отражается без изменения знака, так как в силу граничных условий
имеем U1 (−x) = −U2 (x), U2 (l+x) = U1 (l−x). Пусть точка (x, t) лежит
в области II (рис. 10). Тогда
U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = U1 (x − at) + U1 (2l − x − at) =


                                   66

Страницы