Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

необходимо наложить на
ными концами, то есть решим уравнение (1 ) с начальными условиями
Пу
сть точк
а (x, t) лежит в области V I.
В данном случае в точку M приходит волна из точки M
0
1
, один
раз отраженная от конца x = 0, и другая волна из точки M
00
2
(по
одному разу отраженная от концов x = 0 и x = l). Поэтому (в силу
того, что U
1
→ −U
2
, U
2
→ −U
1
→ U
2
)
U(x, t) = U
1
(x −at) + U
2
(x + at) = −U
2
(−x + at) + U
2
(−2l + x + at) =
= −ϕ(−x + at)/2 −Ψ(−x + at) + ϕ(−2l + x + at) + Ψ(−2l + x + at) =
= [ϕ(−2l + x + at) − ϕ(−x + at)]/2−
−
1
2a
Z
−x+at
x
0
ψ(α)dα − C +
1
2a
Z
−2l+x+at
x
0
ψ(α)dα + C =
=
[ϕ(
−2l + x + at) − ϕ(−x + at)]/2 +
1
2a
Z
−2l+x+at
−x+at
ψ(α)dα
. (11)
9.2. Рассмотрим
задачу о колебаниях конечной струны со свобод-
(2) и граничными условиями
½
U
x
(0, t) = 0,
U
x
(l, t) = 0,
t > 0. (12
0
)
Рассуждая как и выше, получим, что на основании занятия 8 для
удовлетворения граничным условиям (12
0
)
функции ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) условия четности относительно x = 0 и x = l,
которые имеют вид
ϕ
1
(−x) = ϕ
1
(x), ϕ
1
(x) = ϕ
1
(2l − x),
ψ
1
(−x) = ψ
1
(x), ψ
1
(x) = ψ
1
(2l − x),
откуда имеем ϕ
1
(−x) = ϕ
1
(2l−x), или делая замену x
0
= −x, получим
ϕ
1
(x
0
) = ϕ
1
(x
0
+2l). Аналогично получаем ψ
1
(x
0
) = ψ
1
(x
0
+2l). Из этих
соотношений ясно, что функции ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) являются периодиче-
скими с периодом 2l. Таким образом, условия четности относительно
начала координат и условия периодичности определят продолжение
ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) на всей прямой −∞ < x < ∞. Далее, как в задаче 9.1,
подставляя ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) в формулу (3), получаем решение вспомо-
гательной задачи. Рассматривая здесь 0 ≤ x ≤ l, получаем решение
нашей задачи. Выясним также, какое действие оказывают свободные
концы струны на ее колебания. Для этого обратимся к рис.10 и выпи-
шем значения U(x, t), выбирая точку (x, t) в областях I − V I. Если
точка (x, t) ∈ I, то концы струны еще не оказывают никакого влияния
на колебания струны. Пусть точка (x, t) лежит в области II. Исполь-
зуя условия (12
0
), имеем
64
0
Пусть точка (x, t) лежит в области V I.
      В данном случае в точку M приходит волна из точки M10 , один
раз отраженная от конца x = 0, и другая волна из точки M200 (по
одному разу отраженная от концов x = 0 и x = l). Поэтому (в силу
того, что U1 → −U2 , U2 → −U1 → U2 )

U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = −U2 (−x + at) + U2 (−2l + x + at) =
= −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) + ϕ(−2l + x + at) + Ψ(−2l + x + at) =
                 = [ϕ(−2l + x + at) − ϕ(−x + at)]/2−
              Z −x+at                     Z −2l+x+at
            1                          1
        −             ψ(α)dα − C +                   ψ(α)dα + C =
           2a x0                      2a x0
                                                 Z −2l+x+at
                                               1
    = [ϕ(−2l + x + at) − ϕ(−x + at)]/2 +                    ψ(α)dα.  (11)
                                              2a −x+at
      9.2. Рассмотрим задачу о колебаниях конечной струны со свобод-
ными концами, то есть решим уравнение (10 ) с начальными условиями
(2) и граничными условиями
                        ½
                           Ux (0, t) = 0,
                                             t > 0.                 (120 )
                           Ux (l, t) = 0,
     Рассуждая как и выше, получим, что на основании занятия 8 для
удовлетворения граничным условиям (120 )необходимо наложить на
функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) условия четности относительно x = 0 и x = l,
которые имеют вид
                  ϕ1 (−x) = ϕ1 (x), ϕ1 (x) = ϕ1 (2l − x),
                  ψ1 (−x) = ψ1 (x), ψ1 (x) = ψ1 (2l − x),
откуда имеем ϕ1 (−x) = ϕ1 (2l −x), или делая замену x0 = −x, получим
ϕ1 (x0 ) = ϕ1 (x0 +2l). Аналогично получаем ψ1 (x0 ) = ψ1 (x0 +2l). Из этих
соотношений ясно, что функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) являются периодиче-
скими с периодом 2l. Таким образом, условия четности относительно
начала координат и условия периодичности определят продолжение
ϕ1 (x) и ψ1 (x) на всей прямой −∞ < x < ∞. Далее, как в задаче 9.1,
подставляя ϕ1 (x) и ψ1 (x) в формулу (3), получаем решение вспомо-
гательной задачи. Рассматривая здесь 0 ≤ x ≤ l, получаем решение
нашей задачи. Выясним также, какое действие оказывают свободные
концы струны на ее колебания. Для этого обратимся к рис.10 и выпи-
шем значения U (x, t), выбирая точку (x, t) в областях I − V I. Если
точка (x, t) ∈ I, то концы струны еще не оказывают никакого влияния
на колебания струны. Пусть точка (x, t) лежит в области II. Исполь-
зуя условия (120 ), имеем


                                    64

Страницы