Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Т
о ж
е самое происходит с волнами, дошедшими до конца x = 0;
в точках области III будем иметь две волны: обратную и прямую, от-
раженную от конца x = 0. Определим U(x, t) в области III. В данном
случае точка M
2
(x + at, 0)-реальная, а точка M
1
(x −at, 0)-фиктивная.
Заменим M
1
на реальную точку M
0
1
. В силу (6) имеем U
1
(x) =
−U
2
(−x), поэтому U
1
(x −at) = −U
2
(−(x −at)). На основании формул
(5) имеем
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at) = −U
2
(−x + at) + U
2
(x + at) =
= −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) + ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at) =
= [ϕ(x + at) − ϕ(−x + at)]/2 +
1
2a
Z
x+at
−x+at
ψ(α)dα
. (8)
Пусть
точка (x, t) лежит в области IV .
Рис. 12
Тогда
U(x, t) = U
1
(x −at) + U
2
(x + at) = −U
2
(−(x −at)) −U
1
(2l −x −at) =
= −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) − ϕ(2l − x − at)/2 + Ψ(2l − x − at) =
= −[ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −
1
2a
Z
x+at
x
0
ψ(α)dα − C+
+
1
2a
Z
2l−x−at
x
0
ψ(α)dα + C =
= −[ϕ(−x + at)
+ ϕ(2l − x − at
)]/2+
+
1
2a
Z
2l−x−at
−x+at
ψ(α)dα
. (9)
62
      То же самое происходит с волнами, дошедшими до конца x = 0;
в точках области III будем иметь две волны: обратную и прямую, от-
раженную от конца x = 0. Определим U (x, t) в области III. В данном
случае точка M2 (x + at, 0)-реальная, а точка M1 (x − at, 0)-фиктивная.
      Заменим M1 на реальную точку M10 . В силу (6) имеем U1 (x) =
−U2 (−x), поэтому U1 (x − at) = −U2 (−(x − at)). На основании формул
(5) имеем

  U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = −U2 (−x + at) + U2 (x + at) =
     = −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) + ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at) =
                                           Z x+at
                                         1
         = [ϕ(x + at) − ϕ(−x + at)]/2 +           ψ(α)dα.     (8)
                                        2a −x+at
Пусть точка (x, t) лежит в области IV .




                                  Рис. 12

     Тогда

U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = −U2 (−(x − at)) − U1 (2l − x − at) =
= −ϕ(−x + at)/2 − Ψ(−x + at) − ϕ(2l − x − at)/2 + Ψ(2l − x − at) =
                                           Z x+at
                                         1
   = −[ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2 −           ψ(α)dα − C+
                                        2a x0
                       Z 2l−x−at
                     1
                  +              ψ(α)dα + C =
                    2a x0
                 = −[ϕ(−x + at) + ϕ(2l − x − at)]/2+
                            Z 2l−x−at
                          1
                       +              ψ(α)dα.                          (9)
                         2a −x+at
                                    62

Страницы