Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

струна
ограничена, то
надо рассматривать только полосу верхней по-
луплоскости t > 0, заключенную между прямыми x = 0 и x = l.
Проведем через точки 0 и l характеристики до встречи с противопо-
ложными границами полосы. Полоса разобьется на области I, II, III,
....(рис. 10).
Рис. 10
Точки области I соответствуют тем моментам времени t, когда к
точкам x струны доходят прямая и обратная волны, вышедшие в на-
чальный момент времени из внутренних точек струны. Следовательно,
фиктивно добавленные бесконечные части струны еще на процесс ко-
лебания не влияют, поэтому решение запишется по формуле (4). Точки
вне области I соответствуют тем моментам времени t, когда к точкам
x струны доходят уже волны, вышедшие в начальный момент времени
из фиктивной части струны.
Возьмем точку M(x, t) ( Рис. 10) в области II и представим
U(x, t) в виде
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at),
где U
1
– прямая, а U
2
– обратная волна, определяемые следующим
образом
½
U
1
(x − at) = ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at),
U
2
(x + at) = ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at),
(5)
где Ψ(z) =
1
2a
R
z
x
0
ψ(α)dα + C –
любая первообразная
функции ψ(x), C
– произвольная постоянная. Тогда в точке M(x, t) имеются две волны:
прямая волна U
1
, дошедшая от начально возмущенной точки M
1
стру-
ны с абсциссой x − at и обратная волна U
2
из точки M
2
c абсциссой
x + at, где M
1
– реальная точка струны, а M
2
– фиктивная. Заменим
M
2
реальной точкой. В силу условий (3
0
) имеем
½
U
1
(−x) = −U
2
(x),
U
2
(l + x) = −U
1
(l −x).
(6)
60
струна ограничена, то надо рассматривать только полосу верхней по-
луплоскости t > 0, заключенную между прямыми x = 0 и x = l.
Проведем через точки 0 и l характеристики до встречи с противопо-
ложными границами полосы. Полоса разобьется на области I, II, III,
....(рис. 10).




                               Рис. 10

       Точки области I соответствуют тем моментам времени t, когда к
точкам x струны доходят прямая и обратная волны, вышедшие в на-
чальный момент времени из внутренних точек струны. Следовательно,
фиктивно добавленные бесконечные части струны еще на процесс ко-
лебания не влияют, поэтому решение запишется по формуле (4). Точки
вне области I соответствуют тем моментам времени t, когда к точкам
x струны доходят уже волны, вышедшие в начальный момент времени
из фиктивной части струны.
       Возьмем точку M (x, t) ( Рис. 10) в области II и представим
U (x, t) в виде

                   U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at),
где U1 – прямая, а U2 – обратная волна, определяемые следующим
образом
              ½
                  U1 (x − at) = ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at),
                  U2 (x + at) = ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at),         (5)
            1
              Rz
где Ψ(z) = 2a  x0 ψ(α)dα + C – любая первообразная функции ψ(x), C
– произвольная постоянная. Тогда в точке M (x, t) имеются две волны:
прямая волна U1 , дошедшая от начально возмущенной точки M1 стру-
ны с абсциссой x − at и обратная волна U2 из точки M2 c абсциссой
x + at, где M1 – реальная точка струны, а M2 – фиктивная. Заменим
M2 реальной точкой. В силу условий (30 ) имеем
                       ½
                          U1 (−x) = −U2 (x),
                          U (l + x) = −U (l − x).                (6)
                         2               1

                                 60

Страницы