Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

частности задача о продольных колебаниях стержня.
Заметим
такж
е, что к этой задаче сводятся и другие задачи, в
В данном случае для применения формулы Даламбера необхо-
димо продолжить функции ϕ(x) и ψ(x) на всю действительную ось,
причем продолжить таким образом, чтобы выполнялись граничные
условия (3
0
).
Пусть функции ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) - функции, которые необходимо
определить на всей действительной оси, то есть при −∞ < x < ∞,
тогда для них имеет место формула Даламбера
U(x, t) = [ϕ
1
(x + at) + ϕ
1
(x − at)]/2 +
1
2a
Z
x+at
x−at
ψ
1
(α)dα
. (4)
В силу
начальных условий (2) имеем
½
U(x, 0) = ϕ
1
(x) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = ψ
1
(x) = ψ(x),
0 ≤ x ≤ l.
На основании занятия 8 для выполнения граничных условий (3)
наложим на функции ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) требование нечетности относитель-
но точек x = 0, x = l, то есть
ϕ
1
(x) = −ϕ
1
(−x), ψ
1
(x) = −ψ
1
(−x), ϕ
1
(x) = −ϕ
1
(2l − x),
ψ
1
(x) = −ψ
1
(2l − x),
откуда имеем
ϕ
1
(−x) = ϕ
1
(2l − x),
или, делая заменуx
0
= −x, получим
ϕ
1
(x
0
) = ϕ
1
(x
0
+ 2l).
Аналогично получаем ψ
1
(x
0
) = ψ
1
(x
0
+ 2l). Из этих соотношений
ясно, что функции ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) являются периодическими с периодом
2l. Таким образом, условия нечетности относительно начала координат
и условия периодичности определят продолжения ϕ
1
(x) и ψ
1
(x) на всей
прямой −∞ < x < ∞.
Итак, для решения задачи 9.1 продолжим функции ϕ(x) и ψ(x)
относительно x = 0 нечетным образом, а затем продолжим получен-
ные функции периодически с периодом 2l на всю действительную ось.
Получим задачу Коши для бесконечной струны с данными ϕ
1
(x) и
ψ
1
(x). Подставляя их в формулу (4), получаем решение вспомогатель-
ной задачи. Рассматривая здесь 0 ≤ x ≤ l, получаем решение нашей
задачи.
Выясним, какое действие оказывают закрепленные концы стру-
ны на ее колебания. Для этого рассмотрим плоскость (x, t). Так как
59
     Заметим также, что к этой задаче сводятся и другие задачи, в
частности задача о продольных колебаниях стержня.
     В данном случае для применения формулы Даламбера необхо-
димо продолжить функции ϕ(x) и ψ(x) на всю действительную ось,
причем продолжить таким образом, чтобы выполнялись граничные
условия (30 ).
     Пусть функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) - функции, которые необходимо
определить на всей действительной оси, то есть при −∞ < x < ∞,
тогда для них имеет место формула Даламбера Z
                                                     x+at
                                                  1
      U (x, t) = [ϕ1 (x + at) + ϕ1 (x − at)]/2 +          ψ1 (α)dα. (4)
                                                 2a x−at
В силу начальных условий (2) имеем
              ½
                U (x, 0) = ϕ1 (x) = ϕ(x),
                Ut (x, 0) = ψ1 (x) = ψ(x),          0 ≤ x ≤ l.

     На основании занятия 8 для выполнения граничных условий (3)
наложим на функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) требование нечетности относитель-
но точек x = 0, x = l, то есть

      ϕ1 (x) = −ϕ1 (−x), ψ1 (x) = −ψ1 (−x), ϕ1 (x) = −ϕ1 (2l − x),
                         ψ1 (x) = −ψ1 (2l − x),
откуда имеем

                         ϕ1 (−x) = ϕ1 (2l − x),
или, делая заменуx0 = −x, получим
                         ϕ1 (x0 ) = ϕ1 (x0 + 2l).
      Аналогично получаем ψ1 (x0 ) = ψ1 (x0 + 2l). Из этих соотношений
ясно, что функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) являются периодическими с периодом
2l. Таким образом, условия нечетности относительно начала координат
и условия периодичности определят продолжения ϕ1 (x) и ψ1 (x) на всей
прямой −∞ < x < ∞.
      Итак, для решения задачи 9.1 продолжим функции ϕ(x) и ψ(x)
относительно x = 0 нечетным образом, а затем продолжим получен-
ные функции периодически с периодом 2l на всю действительную ось.
Получим задачу Коши для бесконечной струны с данными ϕ1 (x) и
ψ1 (x). Подставляя их в формулу (4), получаем решение вспомогатель-
ной задачи. Рассматривая здесь 0 ≤ x ≤ l, получаем решение нашей
задачи.
      Выясним, какое действие оказывают закрепленные концы стру-
ны на ее колебания. Для этого рассмотрим плоскость (x, t). Так как

                                   59

Страницы