Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

бо
дным к
онцом изображена на рис. 6. Начертить положение струны
x
1
< 0, решая которое имеем
C(x
1
) =
x
1
Z
0
ν(−α/a)d α = −a
−x
1
/a
Z
0
ν(ζ)d ζ, x
1
< 0.
О т в е т:
U(x, t) =
0, если x − at ≥ 0,
−a
t−x/a
R
0
ν(ζ)d ζ, если x − at < 0,
8.15. Найти решение задачи:
U
tt
= a
2
U
xx
, x > 0, t > 0,
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = ψ(x),
x ≥ 0, U
x
(0, t) = ν(t), t > 0.
О т в е т:
U(x, t) =
(ϕ(x + at) + ϕ(x − at))/2 +
1
2a
x+at
R
x−at
ψ(α)d α
, t ≤ x/a,
(
ϕ(x + at) + ϕ(at − x))/2 +
1
2a
(
x+at
R
0
ψ(α)d α+ t
> x/a.
+
at
−x
R
0
ψ(α)d α) − a
t−x/a
R
0
ν(ζ)d ζ,
8.16. Начальная форма полубесконечной струны x ≥ 0 со сво-
для моментов времени t
k
=
kc
4a
, k =
2, 4
, 5, 6, 8.
У к а з а н и е. На основании задачи 8.2 для получения
профиля струны надо продолжить функцию ϕ(x) четным образом от-
носительно x = 0 и провести построения, аналогичные построениям
задачи 8.8. Отметим, что в данном случае отражение волн от свобод-
ного конца происходит без изменения знака отклонения.
8.17. Полуограниченная однородная струна x ≥ 0 с закреплен-
ным концом x = 0 возбуждена начальным отклонением
U(x, 0) =
(
0, 0 ≤ x ≤ l,
−sin
πx
l
,
l <
x ≤ 2l,
0, 2l < x < ∞.
Определить графически форму струны в моменты времени
t =
l
4a
,
l
a
,
5l
4a
,
3l
2a
,
7l
4a
,
9l
4a
,
предполагая,
что начальные скорости отсутствуют.
57
x1 < 0, решая которое имеем
                         Zx1                             −x
                                                         Z 1 /a
           C(x1 ) =            ν(−α/a)d α = −a                 ν(ζ)d ζ, x1 < 0.
                         0                                0

     О т в е т:
                             
                              0,                          если x − at ≥ 0,
                                     t−x/a
                                      R
             U (x, t) =
                              −a            ν(ζ)d ζ,      если x − at < 0,
                                         0
8.15. Найти решение задачи:
                                     ½
              2                          U (x, 0) = ϕ(x),
       Utt = a Uxx , x > 0, t > 0,                         x ≥ 0, Ux (0, t) = ν(t), t > 0.
                                         Ut (x, 0) = ψ(x),


     О т в е т:
            
                                                R
                                                x+at
            
             (ϕ(x +  at) + ϕ(x − at))/2  +  1
                                                     ψ(α)d α, t ≤ x/a,
            
                                           2a
            
                                              x−at
                                                 R
                                                 x+at
                                             1
 U (x, t) =   (ϕ(x +  at) + ϕ(at − x))/2  + 2a (      ψ(α)d α+ t > x/a.
            
                                                 0
            
                                 t−x/a
            
                R
                at−x                R
            
            +       ψ(α)d α) − a       ν(ζ)d ζ,
                     0                           0

     8.16. Начальная форма полубесконечной струны x ≥ 0 со сво-
бодным концом изображена на рис. 6. Начертить положение струны
                            kc
для моментов времени tk = 4a   , k = 2, 4, 5, 6, 8.
     У к а з а н и е. На основании задачи 8.2 для получения
профиля струны надо продолжить функцию ϕ(x) четным образом от-
носительно x = 0 и провести построения, аналогичные построениям
задачи 8.8. Отметим, что в данном случае отражение волн от свобод-
ного конца происходит без изменения знака отклонения.
     8.17. Полуограниченная однородная струна x ≥ 0 с закреплен-
ным концом x = 0 возбуждена начальным отклонением
                           (
                               0,         0 ≤ x ≤ l,
                                     πx
                 U (x, 0) = − sin l , l < x ≤ 2l,
                               0,         2l < x < ∞.
                                                          l
Определить графически форму струны в моменты времени t = 4a , al ,
5l 3l 7l 9l
4a , 2a , 4a , 4a ,
                    предполагая, что начальные скорости отсутствуют.


                                                57

Страницы