Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Д
о м
а ш н е е з а д а н и е
8.11. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной
струны x ≥ 0 со свободным концом x = 0 и со следующими началь-
ными данными:
½
U(x, 0) = x
2
,
U
t
(x, 0) = cos x
О т в е т:
U(x, t) = x
2
+ a
2
t
2
+
1
a
sin(at)
cos x.
8.12. Записать решение
задачи 8.6 в случае, когда конец x = 0
свободен.
8.13. Найти решение задачи:
U
tt
= a
2
U
xx
, x > 0, t > 0,
½
U(x, 0) = ϕ(x),
U
t
(x, 0) = ψ(x),
x ≥ 0,
U(0, t) = µ(t), t > 0.
У к а з а н и е. Решение этой задачи следует искать в виде
суммы U(x, t) = U
1
(x, t) + U
2
(x, t), где U
1
(x, t) является решением
задачи 8.3, а U
2
(x, t) решением задачи 8.7.
О т в е т:
U(x, t) =
[ϕ(x + at) + ϕ(x − at)]/2 +
1
2a
x+at
Z
x−at
ψ(α)d α
, t ≤ x/a,
µ(t −
x
a
)
+ [ϕ
(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +
1
2a
x+at
Z
x−at
ψ(α)d α
, t
> x/a.
8.14. Найти решение задачи:
U
tt
= a
2
U
xx
, x > 0, t > 0,
½
U(x, 0) = 0,
U
t
(x, 0) = 0,
x ≥ 0.
U
x
(0, t) = ν(t), t > 0.
У к а з а н и е. При решении поступаем, как в задаче 8.7. Для опре-
деления функции C(x − at) получаем следующее дифференциальное
уравнение
C
0
(x
1
) = ν(−x
1
/a),
56
.
                   Д о м а ш н е е                 з а д а н и е

     8.11. Записать решение задачи о колебаниях полубесконечной
струны x ≥ 0 со свободным концом x = 0 и со следующими началь-
ными данными:          ½
                         U (x, 0) = x2 , .
                         Ut (x, 0) = cos x
       О т в е т:
                                    1
                      U (x, t) = x2 + a2 t2 +
                                      sin(at) cos x.
                                    a
     8.12. Записать решение задачи 8.6 в случае, когда конец x = 0
свободен.
     8.13. Найти решение задачи:

                                              ½
                                                  U (x, 0) = ϕ(x),
        Utt = a2 Uxx , x > 0, t > 0,                                     x ≥ 0,
                                                  Ut (x, 0) = ψ(x),

                             U (0, t) = µ(t),         t > 0.
     У к а з а н и е. Решение этой задачи следует искать в виде
суммы U (x, t) = U1 (x, t) + U2 (x, t), где U1 (x, t) является решением
задачи 8.3, а U2 (x, t) решением задачи 8.7.
     О т в е т:
             
                                             Z
                                              x+at
             
                                           1
             
              [ϕ(x + at) + ϕ(x − at)]/2 +        ψ(α)d α,                        t ≤ x/a,
             
                                          2a
                                                   x−at
U (x, t) =                                              Z
                                                        x+at
             
             
             
                   x                                 1
             
              µ(t − ) + [ϕ(x + at) − ϕ(at − x)]/2 +        ψ(α)d α, t > x/a.
                   a                                2a
                                                               x−at


       8.14. Найти решение задачи:
                                              ½
                                                  U (x, 0) = 0,
               Utt = a2 Uxx , x > 0, t > 0,       Ut (x, 0) = 0,
                                                                      x ≥ 0.

                               Ux (0, t) = ν(t), t > 0.
У к а з а н и е. При решении поступаем, как в задаче 8.7. Для опре-
деления функции C(x − at) получаем следующее дифференциальное
уравнение
                       C 0 (x1 ) = ν(−x1 /a),




                                          56

Страницы