Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 54 стр.

      Из чертежей видно, что в данном случае начало процесса будет
полностью соответствовать случаю бесконечной струны, т.е. две
полуволны двигаются в разные стороны с постоянной скоростью. Как
только полуволна, бегущая влево, дойдет до точки x = 0 (пункт 2),
туда же пойдет полуволна, бегущая вправо по отрицательной полу-
оси. В последующие моменты (пункты 3-5) эти полуволны начинают
накладываться друг на друга, что соответствует процессу отражения
волн от закрепленного конца. Сначала отражающаяся волна укорачи-
вается, затем исчезает и, наконец, переворачивается. (Если начальная
форма волны не симметрична, то полного исчезновения отклонений
может и не быть). После того как волна полностью отразилась, откло-
нения точек меняют свой знак. После этого по струне побегут вправо
с одинаковой скоростью две волны, находящиеся в противоположных
фазах.
      8.9. Пусть в задаче (4),(5),(6) функция ψ(x) ≡ 0, а ϕ(x) дается
формулой
                               (
                                  0, 0 ≤ x < 1,
                       ϕ(x) = 1, 1 ≤ x ≤ 2,
                                  0, x > 2.
                                                        k        -
Начертить положение струны для моментов времени tk = 2a   , k = 1, 4.
     8.10. Пусть на полуограниченной струне x ≥ 0(a = 1), закреп-
ленной на конце x = 0, начальное отклонение всюду равно нулю, а на-
чальная скорость отлична от нуля и равна 1 только в интервале [1, 2].
Начертить положения струны для моментов времени t = 0, 1, 2, 3, 4.
     Р е ш е н и е. В данном случае мы имеем задачу 8.3, где
ϕ(x) ≡ 0, а                  (
                               0, 0 ≤ x < 1,
                      ψ(x) = 1, 1 ≤ x ≤ 2,
                               0, x > 2.
Так как полуограниченная струна закреплена на конце x = 0, то для
решения задачи продолжим ϕ(x) и ψ(x) нечетным образом относи-
тельно точки x = 0. В данном случае ϕ1 = 0, а ψ1 будет иметь следу-
ющий вид:                  
                           
                            0, x < −2,
                           
                            −1, −2 ≤ x ≤ −1,
                  ψ1 (x) =   0, −1 < x < 1,
                           
                            1, 1 ≤ x ≤ 2,
                           
                           
                             0, x > 2.
На основании формулы Даламбера
                 U (x, t) = −Ψ1 (x − at) + Ψ1 (x + at),




                                   54