Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из
(6) имеем −
U
2
(l+x) = U
1
(l−x) = −U
2
(−l+x), откуда следует,
что U
2
(x + 2l) = U
2
(x), то есть U
2
(x) − 2l-периодическая функция.
Аналогично имеем −U
1
(l − x) = U
2
(l + x) = −U
1
(−l − x), то есть
U
1
(x + 2l) = U
1
(x.) На основании второй формулы (6) получаем
U
2
(x + at) = U
2
(l + x + at − l) = −U
1
(2l − x − at).
Таким образом, обратная волна U
2
(x + at) есть прямая волна
−U
1
(2l − x − at), вышедшая в начальный момент времени из точки
M
0
2
(2l −x −at) (симметричной с M
2
относительно точки l ), которая,
дойдя до конца струны l в момент t =
l−(2l−x−at)
a
=
x+at−l
a
,
изменила
свое направление
и знак на обратный и к моменту времени
t
дошла
до точки M. Таким образом, действие закрепленного конца x = l све-
лось к отражению волны смещения с переменой знака и с сохранением
абсолютной величины смещения. Если учесть теперь формулы (5), то
будем иметь
Рис. 11
U(x, t) = U
1
(x − at) + U
2
(x + at) = U
1
(x − at) − U
1
(2l − x − at) =
= ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at) − ϕ(2l − x − at)/2 + Ψ(2l − x − at) =
=
ϕ(x − at) − ϕ(2l −x − at)
2
−
1
2a
x−at
Z
x
0
ψ(α)dα +
1
2a
2l−x−at
Z
x
0
ψ(α)dα =
=
ϕ(x − at) − ϕ(2l − x − at)
2
+
1
2a
x
0
Z
x−at
ψ(α)dα +
1
2a
2l−x−at
Z
x
0
ψ(α)dα =
=
ϕ(x − at) − ϕ(2l −x − at)
2
+
1
2a
2l−x−at
Z
x−at
ψ(α)dα
. (7)
61
      Из (6) имеем −U2 (l+x) = U1 (l−x) = −U2 (−l+x), откуда следует,
что U2 (x + 2l) = U2 (x), то есть U2 (x) − 2l-периодическая функция.
Аналогично имеем −U1 (l − x) = U2 (l + x) = −U1 (−l − x), то есть
U1 (x + 2l) = U1 (x.) На основании второй формулы (6) получаем

          U2 (x + at) = U2 (l + x + at − l) = −U1 (2l − x − at).
       Таким образом, обратная волна U2 (x + at) есть прямая волна
−U1 (2l − x − at), вышедшая в начальный момент времени из точки
M20 (2l − x − at) (симметричной с M2 относительно точки l ), которая,
                                               l−(2l−x−at)
дойдя до конца струны l в момент t =      a    = x+at−l
                                                    a   , изменила
свое направление и знак на обратный и к моменту времени t дошла
до точки M . Таким образом, действие закрепленного конца x = l све-
лось к отражению волны смещения с переменой знака и с сохранением
абсолютной величины смещения. Если учесть теперь формулы (5), то
будем иметь




                                  Рис. 11



  U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at) = U1 (x − at) − U1 (2l − x − at) =
  = ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at) − ϕ(2l − x − at)/2 + Ψ(2l − x − at) =
                                   Z
                                   x−at              Z
                                                   2l−x−at
   ϕ(x − at) − ϕ(2l − x − at)    1               1
 =                            −        ψ(α)dα +           ψ(α)dα =
               2                2a              2a
                                         x0                     x0

                                         Zx0                     Z
                                                               2l−x−at
   ϕ(x − at) − ϕ(2l − x − at)    1                       1
 =                            +                ψ(α)dα +                ψ(α)dα =
               2                2a                      2a
                                     x−at                       x0

                                                       Z
                                                     2l−x−at
             ϕ(x − at) − ϕ(2l − x − at)    1
           =                            +                    ψ(α)dα.         (7)
                         2                2a
                                                     x−at

                                    61

Страницы